Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49378 / 80257
↖ ↑ ↗
← S 37.442155°
W 44.379272°		 ← 242.45 m → S 37.442155°
W 44.376526°		 →
↑
242.48 m
↓
↑
242.48 m
↓
S 37.444335°
W 44.379272°		 ← 242.44 m →
58 788 m²		 S 37.444335°
W 44.376526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376728057861328 y=0.612316131591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376728057861328 × 217)
    floor (0.376728057861328 × 131072)
    floor (49378.5)     		tx = 49378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612316131591797 × 217)
    floor (0.612316131591797 × 131072)
    floor (80257.5)     		ty = 80257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49378 / 80257 ti = "17/49378/80257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49378/80257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49378 ÷ 217
    49378 ÷ 131072     		x = 0.376724243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80257 ÷ 217
    80257 ÷ 131072     		y = 0.612312316894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376724243164062 × 2 - 1) × π
    -0.246551513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77456442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612312316894531 × 2 - 1) × π
    -0.224624633789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.705679099306847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77456442} λ = -0.77456442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.705679099306847))-π/2
    2×atan(0.493773139375546)-π/2
    2×0.458653723420455-π/2
    0.91730744684091-1.57079632675     		φ = -0.65348888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77456442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.379272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65348888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.442155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49378 KachelY 80257 -0.77456442 -0.65348888 -44.379272 -37.442155
    Oben rechts KachelX + 1 49379 KachelY 80257 -0.77451649 -0.65348888 -44.376526 -37.442155
    Unten links KachelX 49378 KachelY + 1 80258 -0.77456442 -0.65352694 -44.379272 -37.444335
    Unten rechts KachelX + 1 49379 KachelY + 1 80258 -0.77451649 -0.65352694 -44.376526 -37.444335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65348888--0.65352694) × R
    3.80599999999509e-05 × 6371000     		dl = 242.480259999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65348888--0.65352694) × R
    3.80599999999509e-05 × 6371000     		dr = 242.480259999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77456442--0.77451649) × cos(-0.65348888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.793967535011292 × 6371000     		do = 242.447538245293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77456442--0.77451649) × cos(-0.65352694) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.793944395472639 × 6371000     		du = 242.440472308796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65348888)-sin(-0.65352694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793967535011292-0.793944395472639)×R²
    abs(-0.77451649--0.77456442)×2.31395386526279e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31395386526279e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31395386526279e-05×40589641000000     		ar = 58787.8854421813m²