Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49376 / 80735
↖ ↑ ↗
← S 38.477244°
W 44.384766°		 ← 239.10 m → S 38.477244°
W 44.382019°		 →
↑
239.10 m
↓
↑
239.10 m
↓
S 38.479395°
W 44.384766°		 ← 239.10 m →
57 170 m²		 S 38.479395°
W 44.382019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376712799072266 y=0.615962982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376712799072266 × 217)
    floor (0.376712799072266 × 131072)
    floor (49376.5)     		tx = 49376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615962982177734 × 217)
    floor (0.615962982177734 × 131072)
    floor (80735.5)     		ty = 80735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49376 / 80735 ti = "17/49376/80735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49376/80735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49376 ÷ 217
    49376 ÷ 131072     		x = 0.376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80735 ÷ 217
    80735 ÷ 131072     		y = 0.615959167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.24658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77466030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615959167480469 × 2 - 1) × π
    -0.231918334960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.728592937325233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77466030} λ = -0.77466030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728592937325233))-π/2
    2×atan(0.482587543514439)-π/2
    2×0.449620861342975-π/2
    0.89924172268595-1.57079632675     		φ = -0.67155460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77466030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67155460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.477244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49376 KachelY 80735 -0.77466030 -0.67155460 -44.384766 -38.477244
    Oben rechts KachelX + 1 49377 KachelY 80735 -0.77461236 -0.67155460 -44.382019 -38.477244
    Unten links KachelX 49376 KachelY + 1 80736 -0.77466030 -0.67159213 -44.384766 -38.479395
    Unten rechts KachelX + 1 49377 KachelY + 1 80736 -0.77461236 -0.67159213 -44.382019 -38.479395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67155460--0.67159213) × R
    3.75299999999523e-05 × 6371000     		dl = 239.103629999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67155460--0.67159213) × R
    3.75299999999523e-05 × 6371000     		dr = 239.103629999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77466030--0.77461236) × cos(-0.67155460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.782855334291729 × 6371000     		do = 239.104169788842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77466030--0.77461236) × cos(-0.67159213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.782831982433096 × 6371000     		du = 239.097037530139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67155460)-sin(-0.67159213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782855334291729-0.782831982433096)×R²
    abs(-0.77461236--0.77466030)×2.33518586330028e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33518586330028e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33518586330028e-05×40589641000000     		ar = 57169.8222768165m²