Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49374 / 80263
↖ ↑ ↗
← S 37.455238°
W 44.390259°		 ← 242.46 m → S 37.455238°
W 44.387512°		 →
↑
242.48 m
↓
↑
242.48 m
↓
S 37.457418°
W 44.390259°		 ← 242.45 m →
58 790 m²		 S 37.457418°
W 44.387512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376697540283203 y=0.612361907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376697540283203 × 217)
    floor (0.376697540283203 × 131072)
    floor (49374.5)     		tx = 49374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612361907958984 × 217)
    floor (0.612361907958984 × 131072)
    floor (80263.5)     		ty = 80263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49374 / 80263 ti = "17/49374/80263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49374/80263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49374 ÷ 217
    49374 ÷ 131072     		x = 0.376693725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80263 ÷ 217
    80263 ÷ 131072     		y = 0.612358093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376693725585938 × 2 - 1) × π
    -0.246612548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77475617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612358093261719 × 2 - 1) × π
    -0.224716186523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.705966720704567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77475617} λ = -0.77475617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.705966720704567))-π/2
    2×atan(0.493631140077039)-π/2
    2×0.45853955237776-π/2
    0.917079104755521-1.57079632675     		φ = -0.65371722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77475617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.390259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65371722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.455238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49374 KachelY 80263 -0.77475617 -0.65371722 -44.390259 -37.455238
    Oben rechts KachelX + 1 49375 KachelY 80263 -0.77470823 -0.65371722 -44.387512 -37.455238
    Unten links KachelX 49374 KachelY + 1 80264 -0.77475617 -0.65375528 -44.390259 -37.457418
    Unten rechts KachelX + 1 49375 KachelY + 1 80264 -0.77470823 -0.65375528 -44.387512 -37.457418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65371722--0.65375528) × R
    3.80600000000619e-05 × 6371000     		dl = 242.480260000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65371722--0.65375528) × R
    3.80600000000619e-05 × 6371000     		dr = 242.480260000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77475617--0.77470823) × cos(-0.65371722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793828692691691 × 6371000     		do = 242.455715898433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77475617--0.77470823) × cos(-0.65375528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793805546253672 × 6371000     		du = 242.448646380473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65371722)-sin(-0.65375528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793828692691691-0.793805546253672)×R²
    abs(-0.77470823--0.77475617)×2.31464380192614e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31464380192614e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31464380192614e-05×40589641000000     		ar = 58789.8679274375m²