Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49373 / 80262
↖ ↑ ↗
← S 37.453058°
W 44.393005°		 ← 242.46 m → S 37.453058°
W 44.390259°		 →
↑
242.42 m
↓
↑
242.42 m
↓
S 37.455238°
W 44.393005°		 ← 242.46 m →
58 776 m²		 S 37.455238°
W 44.390259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376689910888672 y=0.612354278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376689910888672 × 217)
    floor (0.376689910888672 × 131072)
    floor (49373.5)     		tx = 49373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612354278564453 × 217)
    floor (0.612354278564453 × 131072)
    floor (80262.5)     		ty = 80262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49373 / 80262 ti = "17/49373/80262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49373/80262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49373 ÷ 217
    49373 ÷ 131072     		x = 0.376686096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80262 ÷ 217
    80262 ÷ 131072     		y = 0.612350463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376686096191406 × 2 - 1) × π
    -0.246627807617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.77480411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612350463867188 × 2 - 1) × π
    -0.224700927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.705918783804947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77480411} λ = -0.77480411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.705918783804947))-π/2
    2×atan(0.493654803790629)-π/2
    2×0.458558579498246-π/2
    0.917117158996493-1.57079632675     		φ = -0.65367917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77480411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.393005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65367917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.453058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49373 KachelY 80262 -0.77480411 -0.65367917 -44.393005 -37.453058
    Oben rechts KachelX + 1 49374 KachelY 80262 -0.77475617 -0.65367917 -44.390259 -37.453058
    Unten links KachelX 49373 KachelY + 1 80263 -0.77480411 -0.65371722 -44.393005 -37.455238
    Unten rechts KachelX + 1 49374 KachelY + 1 80263 -0.77475617 -0.65371722 -44.390259 -37.455238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65367917--0.65371722) × R
    3.80500000000117e-05 × 6371000     		dl = 242.416550000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65367917--0.65371722) × R
    3.80500000000117e-05 × 6371000     		dr = 242.416550000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77480411--0.77475617) × cos(-0.65367917) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.793851831898687 × 6371000     		do = 242.462783208415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77480411--0.77475617) × cos(-0.65371722) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.793828692691691 × 6371000     		du = 242.455715898995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65367917)-sin(-0.65371722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793851831898687-0.793828692691691)×R²
    abs(-0.77475617--0.77480411)×2.31392069957037e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31392069957037e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31392069957037e-05×40589641000000     		ar = 58776.1347994767m²