Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49370 / 80260
↖ ↑ ↗
← S 37.448697°
W 44.401245°		 ← 242.48 m → S 37.448697°
W 44.398498°		 →
↑
242.42 m
↓
↑
242.42 m
↓
S 37.450877°
W 44.401245°		 ← 242.47 m →
58 780 m²		 S 37.450877°
W 44.398498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376667022705078 y=0.612339019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376667022705078 × 217)
    floor (0.376667022705078 × 131072)
    floor (49370.5)     		tx = 49370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612339019775391 × 217)
    floor (0.612339019775391 × 131072)
    floor (80260.5)     		ty = 80260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49370 / 80260 ti = "17/49370/80260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49370/80260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49370 ÷ 217
    49370 ÷ 131072     		x = 0.376663208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80260 ÷ 217
    80260 ÷ 131072     		y = 0.612335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376663208007812 × 2 - 1) × π
    -0.246673583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77494792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612335205078125 × 2 - 1) × π
    -0.22467041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.705822910005707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77494792} λ = -0.77494792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.705822910005707))-π/2
    2×atan(0.493702134621038)-π/2
    2×0.458596635403208-π/2
    0.917193270806417-1.57079632675     		φ = -0.65360306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77494792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.401245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65360306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.448697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49370 KachelY 80260 -0.77494792 -0.65360306 -44.401245 -37.448697
    Oben rechts KachelX + 1 49371 KachelY 80260 -0.77489998 -0.65360306 -44.398498 -37.448697
    Unten links KachelX 49370 KachelY + 1 80261 -0.77494792 -0.65364111 -44.401245 -37.450877
    Unten rechts KachelX + 1 49371 KachelY + 1 80261 -0.77489998 -0.65364111 -44.398498 -37.450877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65360306--0.65364111) × R
    3.80500000000117e-05 × 6371000     		dl = 242.416550000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65360306--0.65364111) × R
    3.80500000000117e-05 × 6371000     		dr = 242.416550000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77494792--0.77489998) × cos(-0.65360306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793898112945131 × 6371000     		do = 242.476918630711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77494792--0.77489998) × cos(-0.65364111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793874976037152 × 6371000     		du = 242.46985202347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65360306)-sin(-0.65364111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793898112945131-0.793874976037152)×R²
    abs(-0.77489998--0.77494792)×2.31369079787269e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31369079787269e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31369079787269e-05×40589641000000     		ar = 58779.5615448576m²