Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49367 / 82121
↖ ↑ ↗
← S 41.395354°
W 44.409485°		 ← 229.12 m → S 41.395354°
W 44.406738°		 →
↑
229.10 m
↓
↑
229.10 m
↓
S 41.397415°
W 44.409485°		 ← 229.11 m →
52 491 m²		 S 41.397415°
W 44.406738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376644134521484 y=0.626537322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376644134521484 × 217)
    floor (0.376644134521484 × 131072)
    floor (49367.5)     		tx = 49367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626537322998047 × 217)
    floor (0.626537322998047 × 131072)
    floor (82121.5)     		ty = 82121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49367 / 82121 ti = "17/49367/82121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49367/82121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49367 ÷ 217
    49367 ÷ 131072     		x = 0.376640319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82121 ÷ 217
    82121 ÷ 131072     		y = 0.626533508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376640319824219 × 2 - 1) × π
    -0.246719360351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.77509173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626533508300781 × 2 - 1) × π
    -0.253067016601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.795033480198631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77509173} λ = -0.77509173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795033480198631))-π/2
    2×atan(0.45156611614624)-π/2
    2×0.424155546043305-π/2
    0.848311092086611-1.57079632675     		φ = -0.72248523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77509173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.409485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72248523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.395354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49367 KachelY 82121 -0.77509173 -0.72248523 -44.409485 -41.395354
    Oben rechts KachelX + 1 49368 KachelY 82121 -0.77504379 -0.72248523 -44.406738 -41.395354
    Unten links KachelX 49367 KachelY + 1 82122 -0.77509173 -0.72252119 -44.409485 -41.397415
    Unten rechts KachelX + 1 49368 KachelY + 1 82122 -0.77504379 -0.72252119 -44.406738 -41.397415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72248523--0.72252119) × R
    3.59600000000571e-05 × 6371000     		dl = 229.101160000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72248523--0.72252119) × R
    3.59600000000571e-05 × 6371000     		dr = 229.101160000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77509173--0.77504379) × cos(-0.72248523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750164686546177 × 6371000     		do = 229.119604510084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77509173--0.77504379) × cos(-0.72252119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750140907473616 × 6371000     		du = 229.112341769251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72248523)-sin(-0.72252119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750164686546177-0.750140907473616)×R²
    abs(-0.77504379--0.77509173)×2.37790725605702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37790725605702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37790725605702e-05×40589641000000     		ar = 52490.7352267606m²