Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4936 / 5224
↖ ↑ ↗
← S 44.339565°
E 36.914062°		 ← 3 494.87 m → S 44.339565°
E 36.958008°		 →
↑
3 493.92 m
↓
↑
3 493.92 m
↓
S 44.370987°
E 36.914062°		 ← 3 493 m →
12 207 525 m²		 S 44.370987°
E 36.958008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60260009765625 y=0.63775634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60260009765625 × 213)
    floor (0.60260009765625 × 8192)
    floor (4936.5)     		tx = 4936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63775634765625 × 213)
    floor (0.63775634765625 × 8192)
    floor (5224.5)     		ty = 5224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4936 / 5224 ti = "13/4936/5224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4936/5224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4936 ÷ 213
    4936 ÷ 8192     		x = 0.6025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5224 ÷ 213
    5224 ÷ 8192     		y = 0.6376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6025390625 × 2 - 1) × π
    0.205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64427193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6376953125 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64427193} λ = 0.64427193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865165164342773))-π/2
    2×atan(0.420982015667029)-π/2
    2×0.398462462165216-π/2
    0.796924924330431-1.57079632675     		φ = -0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64427193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.914062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4936 KachelY 5224 0.64427193 -0.77387140 36.914062 -44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 4937 KachelY 5224 0.64503892 -0.77387140 36.958008 -44.339565
    Unten links KachelX 4936 KachelY + 1 5225 0.64427193 -0.77441981 36.914062 -44.370987
    Unten rechts KachelX + 1 4937 KachelY + 1 5225 0.64503892 -0.77441981 36.958008 -44.370987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77387140--0.77441981) × R
    0.000548410000000055 × 6371000     		dl = 3493.92011000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77387140--0.77441981) × R
    0.000548410000000055 × 6371000     		dr = 3493.92011000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64427193-0.64503892) × cos(-0.77387140) × R
    0.000766989999999912 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 3494.87022662548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64427193-0.64503892) × cos(-0.77441981) × R
    0.000766989999999912 × 0.714826882058554 × 6371000     		du = 3492.99676269034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77387140)-sin(-0.77441981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.714826882058554)×R²
    abs(0.64503892-0.64427193)×0.000383396399821767×R²
    0.000766989999999912×0.000383396399821767×6371000²
    0.000766989999999912×0.000383396399821767×40589641000000     		ar = 12207524.8059436m²