Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4936 / 3864
↖ ↑ ↗
← N 10.141932°
E 36.914062°		 ← 4 810.14 m → N 10.141932°
E 36.958008°		 →
↑
4 810.49 m
↓
↑
4 810.49 m
↓
N 10.098670°
E 36.914062°		 ← 4 810.79 m →
23 140 676 m²		 N 10.098670°
E 36.958008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60260009765625 y=0.47174072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60260009765625 × 213)
    floor (0.60260009765625 × 8192)
    floor (4936.5)     		tx = 4936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47174072265625 × 213)
    floor (0.47174072265625 × 8192)
    floor (3864.5)     		ty = 3864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4936 / 3864 ti = "13/4936/3864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4936/3864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4936 ÷ 213
    4936 ÷ 8192     		x = 0.6025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3864 ÷ 213
    3864 ÷ 8192     		y = 0.4716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6025390625 × 2 - 1) × π
    0.205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64427193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    0.056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.177941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64427193} λ = 0.64427193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177941771389648))-π/2
    2×atan(1.19475575024226)-π/2
    2×0.873903213612608-π/2
    1.74780642722522-1.57079632675     		φ = 0.17701010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64427193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.914062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17701010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.141932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4936 KachelY 3864 0.64427193 0.17701010 36.914062 10.141932
    Oben rechts KachelX + 1 4937 KachelY 3864 0.64503892 0.17701010 36.958008 10.141932
    Unten links KachelX 4936 KachelY + 1 3865 0.64427193 0.17625504 36.914062 10.098670
    Unten rechts KachelX + 1 4937 KachelY + 1 3865 0.64503892 0.17625504 36.958008 10.098670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17701010-0.17625504) × R
    0.000755060000000002 × 6371000     		dl = 4810.48726000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17701010-0.17625504) × R
    0.000755060000000002 × 6371000     		dr = 4810.48726000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64427193-0.64503892) × cos(0.17701010) × R
    0.000766989999999912 × 0.984374574979126 × 6371000     		do = 4810.13975548155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64427193-0.64503892) × cos(0.17625504) × R
    0.000766989999999912 × 0.984507250751501 × 6371000     		du = 4810.78807475301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17701010)-sin(0.17625504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984374574979126-0.984507250751501)×R²
    abs(0.64503892-0.64427193)×0.000132675772375856×R²
    0.000766989999999912×0.000132675772375856×6371000²
    0.000766989999999912×0.000132675772375856×40589641000000     		ar = 23140676.4777658m²