Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49357 / 58766
↖ ↑ ↗
← N 18.276302°
W 44.436951°		 ← 290.02 m → N 18.276302°
W 44.434204°		 →
↑
290.01 m
↓
↑
290.01 m
↓
N 18.273694°
W 44.436951°		 ← 290.02 m →
84 108 m²		 N 18.273694°
W 44.434204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376567840576172 y=0.448352813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376567840576172 × 217)
    floor (0.376567840576172 × 131072)
    floor (49357.5)     		tx = 49357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448352813720703 × 217)
    floor (0.448352813720703 × 131072)
    floor (58766.5)     		ty = 58766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49357 / 58766 ti = "17/49357/58766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49357/58766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49357 ÷ 217
    49357 ÷ 131072     		x = 0.376564025878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58766 ÷ 217
    58766 ÷ 131072     		y = 0.448348999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376564025878906 × 2 - 1) × π
    -0.246871948242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.77557110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448348999023438 × 2 - 1) × π
    0.103302001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.32453281042778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77557110} λ = -0.77557110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.32453281042778))-π/2
    2×atan(1.38338419231528)-π/2
    2×0.944888988076727-π/2
    1.88977797615345-1.57079632675     		φ = 0.31898165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77557110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.436951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31898165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.276302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49357 KachelY 58766 -0.77557110 0.31898165 -44.436951 18.276302
    Oben rechts KachelX + 1 49358 KachelY 58766 -0.77552316 0.31898165 -44.434204 18.276302
    Unten links KachelX 49357 KachelY + 1 58767 -0.77557110 0.31893613 -44.436951 18.273694
    Unten rechts KachelX + 1 49358 KachelY + 1 58767 -0.77552316 0.31893613 -44.434204 18.273694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31898165-0.31893613) × R
    4.55200000000211e-05 × 6371000     		dl = 290.007920000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31898165-0.31893613) × R
    4.55200000000211e-05 × 6371000     		dr = 290.007920000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77557110--0.77552316) × cos(0.31898165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949555264688126 × 6371000     		do = 290.018619388077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77557110--0.77552316) × cos(0.31893613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949569538764686 × 6371000     		du = 290.022979058473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31898165)-sin(0.31893613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949555264688126-0.949569538764686)×R²
    abs(-0.77552316--0.77557110)×1.42740765595173e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42740765595173e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42740765595173e-05×40589641000000     		ar = 84108.3287539689m²