Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4935 / 5225
↖ ↑ ↗
← S 44.370987°
E 36.870117°		 ← 3 493 m → S 44.370987°
E 36.914062°		 →
↑
3 492.07 m
↓
↑
3 492.07 m
↓
S 44.402392°
E 36.870117°		 ← 3 491.12 m →
12 194 527 m²		 S 44.402392°
E 36.914062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60247802734375 y=0.63787841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60247802734375 × 213)
    floor (0.60247802734375 × 8192)
    floor (4935.5)     		tx = 4935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63787841796875 × 213)
    floor (0.63787841796875 × 8192)
    floor (5225.5)     		ty = 5225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4935 / 5225 ti = "13/4935/5225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4935/5225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4935 ÷ 213
    4935 ÷ 8192     		x = 0.6024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5225 ÷ 213
    5225 ÷ 8192     		y = 0.6378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6024169921875 × 2 - 1) × π
    0.204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64350494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.275634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.865932154736694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64350494} λ = 0.64350494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865932154736694))-π/2
    2×atan(0.42065925029979)-π/2
    2×0.398188255974626-π/2
    0.796376511949253-1.57079632675     		φ = -0.77441981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64350494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.870117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77441981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.370987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4935 KachelY 5225 0.64350494 -0.77441981 36.870117 -44.370987
    Oben rechts KachelX + 1 4936 KachelY 5225 0.64427193 -0.77441981 36.914062 -44.370987
    Unten links KachelX 4935 KachelY + 1 5226 0.64350494 -0.77496793 36.870117 -44.402392
    Unten rechts KachelX + 1 4936 KachelY + 1 5226 0.64427193 -0.77496793 36.914062 -44.402392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77441981--0.77496793) × R
    0.00054811999999993 × 6371000     		dl = 3492.07251999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77441981--0.77496793) × R
    0.00054811999999993 × 6371000     		dr = 3492.07251999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64350494-0.64427193) × cos(-0.77441981) × R
    0.000766990000000023 × 0.714826882058554 × 6371000     		do = 3492.99676269085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64350494-0.64427193) × cos(-0.77496793) × R
    0.000766990000000023 × 0.714443473583078 × 6371000     		du = 3491.12323974811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77441981)-sin(-0.77496793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714826882058554-0.714443473583078)×R²
    abs(0.64427193-0.64350494)×0.000383408475475577×R²
    0.000766990000000023×0.000383408475475577×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383408475475577×40589641000000     		ar = 12194527.0737562m²