Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4934 / 3734
↖ ↑ ↗
← N 15.707663°
E 36.826172°		 ← 4 704.01 m → N 15.707663°
E 36.870117°		 →
↑
4 704.47 m
↓
↑
4 704.47 m
↓
N 15.665354°
E 36.826172°		 ← 4 704.99 m →
22 132 187 m²		 N 15.665354°
E 36.870117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60235595703125 y=0.45587158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60235595703125 × 213)
    floor (0.60235595703125 × 8192)
    floor (4934.5)     		tx = 4934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45587158203125 × 213)
    floor (0.45587158203125 × 8192)
    floor (3734.5)     		ty = 3734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4934 / 3734 ti = "13/4934/3734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4934/3734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4934 ÷ 213
    4934 ÷ 8192     		x = 0.602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3734 ÷ 213
    3734 ÷ 8192     		y = 0.455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602294921875 × 2 - 1) × π
    0.20458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64273795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455810546875 × 2 - 1) × π
    0.08837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.277650522599365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64273795} λ = 0.64273795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.277650522599365))-π/2
    2×atan(1.32002479775436)-π/2
    2×0.92247337995471-π/2
    1.84494675990942-1.57079632675     		φ = 0.27415043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64273795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.826172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27415043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.707663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4934 KachelY 3734 0.64273795 0.27415043 36.826172 15.707663
    Oben rechts KachelX + 1 4935 KachelY 3734 0.64350494 0.27415043 36.870117 15.707663
    Unten links KachelX 4934 KachelY + 1 3735 0.64273795 0.27341201 36.826172 15.665354
    Unten rechts KachelX + 1 4935 KachelY + 1 3735 0.64350494 0.27341201 36.870117 15.665354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27415043-0.27341201) × R
    0.000738420000000017 × 6371000     		dl = 4704.47382000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27415043-0.27341201) × R
    0.000738420000000017 × 6371000     		dr = 4704.47382000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64273795-0.64350494) × cos(0.27415043) × R
    0.000766990000000023 × 0.962655548407312 × 6371000     		do = 4704.00987787374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64273795-0.64350494) × cos(0.27341201) × R
    0.000766990000000023 × 0.962855197787977 × 6371000     		du = 4704.98546323271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27415043)-sin(0.27341201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962655548407312-0.962855197787977)×R²
    abs(0.64350494-0.64273795)×0.000199649380664968×R²
    0.000766990000000023×0.000199649380664968×6371000²
    0.000766990000000023×0.000199649380664968×40589641000000     		ar = 22132187.1330268m²