Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49338 / 81014
↖ ↑ ↗
← S 39.074644°
W 44.489136°		 ← 237.11 m → S 39.074644°
W 44.486389°		 →
↑
237.06 m
↓
↑
237.06 m
↓
S 39.076776°
W 44.489136°		 ← 237.10 m →
56 210 m²		 S 39.076776°
W 44.486389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376422882080078 y=0.618091583251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376422882080078 × 217)
    floor (0.376422882080078 × 131072)
    floor (49338.5)     		tx = 49338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618091583251953 × 217)
    floor (0.618091583251953 × 131072)
    floor (81014.5)     		ty = 81014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49338 / 81014 ti = "17/49338/81014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49338/81014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49338 ÷ 217
    49338 ÷ 131072     		x = 0.376419067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81014 ÷ 217
    81014 ÷ 131072     		y = 0.618087768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376419067382812 × 2 - 1) × π
    -0.247161865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77648190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618087768554688 × 2 - 1) × π
    -0.236175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.741967332319229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77648190} λ = -0.77648190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741967332319229))-π/2
    2×atan(0.476176196599891)-π/2
    2×0.444407569726694-π/2
    0.888815139453387-1.57079632675     		φ = -0.68198119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77648190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.489136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68198119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.074644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49338 KachelY 81014 -0.77648190 -0.68198119 -44.489136 -39.074644
    Oben rechts KachelX + 1 49339 KachelY 81014 -0.77643396 -0.68198119 -44.486389 -39.074644
    Unten links KachelX 49338 KachelY + 1 81015 -0.77648190 -0.68201840 -44.489136 -39.076776
    Unten rechts KachelX + 1 49339 KachelY + 1 81015 -0.77643396 -0.68201840 -44.486389 -39.076776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68198119--0.68201840) × R
    3.72100000000097e-05 × 6371000     		dl = 237.064910000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68198119--0.68201840) × R
    3.72100000000097e-05 × 6371000     		dr = 237.064910000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77648190--0.77643396) × cos(-0.68198119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776325435084418 × 6371000     		do = 237.109770491325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77648190--0.77643396) × cos(-0.68201840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776301979881789 × 6371000     		du = 237.102606668705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68198119)-sin(-0.68201840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776325435084418-0.776301979881789)×R²
    abs(-0.77643396--0.77648190)×2.34552026289192e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34552026289192e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34552026289192e-05×40589641000000     		ar = 56209.557262647m²