Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49336 / 81032
↖ ↑ ↗
← S 39.113014°
W 44.494629°		 ← 236.93 m → S 39.113014°
W 44.491882°		 →
↑
236.94 m
↓
↑
236.94 m
↓
S 39.115145°
W 44.494629°		 ← 236.92 m →
56 137 m²		 S 39.115145°
W 44.491882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376407623291016 y=0.618228912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376407623291016 × 217)
    floor (0.376407623291016 × 131072)
    floor (49336.5)     		tx = 49336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618228912353516 × 217)
    floor (0.618228912353516 × 131072)
    floor (81032.5)     		ty = 81032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49336 / 81032 ti = "17/49336/81032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49336/81032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49336 ÷ 217
    49336 ÷ 131072     		x = 0.37640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81032 ÷ 217
    81032 ÷ 131072     		y = 0.61822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.2471923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77657777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61822509765625 × 2 - 1) × π
    -0.2364501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.74283019651239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77657777} λ = -0.77657777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74283019651239))-π/2
    2×atan(0.475765498424066)-π/2
    2×0.444072729107605-π/2
    0.88814545821521-1.57079632675     		φ = -0.68265087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77657777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.494629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68265087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.113014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49336 KachelY 81032 -0.77657777 -0.68265087 -44.494629 -39.113014
    Oben rechts KachelX + 1 49337 KachelY 81032 -0.77652984 -0.68265087 -44.491882 -39.113014
    Unten links KachelX 49336 KachelY + 1 81033 -0.77657777 -0.68268806 -44.494629 -39.115145
    Unten rechts KachelX + 1 49337 KachelY + 1 81033 -0.77652984 -0.68268806 -44.491882 -39.115145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68265087--0.68268806) × R
    3.71900000000203e-05 × 6371000     		dl = 236.937490000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68265087--0.68268806) × R
    3.71900000000203e-05 × 6371000     		dr = 236.937490000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77657777--0.77652984) × cos(-0.68265087) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.775903140095939 × 6371000     		do = 236.931357942667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77657777--0.77652984) × cos(-0.68268806) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.775879678171389 × 6371000     		du = 236.924193561758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68265087)-sin(-0.68268806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775903140095939-0.775879678171389)×R²
    abs(-0.77652984--0.77657777)×2.346192455005e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.346192455005e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.346192455005e-05×40589641000000     		ar = 56137.0725046599m²