Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49335 / 80552
↖ ↑ ↗
← S 38.082690°
W 44.497375°		 ← 240.41 m → S 38.082690°
W 44.494629°		 →
↑
240.38 m
↓
↑
240.38 m
↓
S 38.084851°
W 44.497375°		 ← 240.40 m →
57 788 m²		 S 38.084851°
W 44.494629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376399993896484 y=0.614566802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376399993896484 × 217)
    floor (0.376399993896484 × 131072)
    floor (49335.5)     		tx = 49335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614566802978516 × 217)
    floor (0.614566802978516 × 131072)
    floor (80552.5)     		ty = 80552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49335 / 80552 ti = "17/49335/80552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49335/80552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49335 ÷ 217
    49335 ÷ 131072     		x = 0.376396179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80552 ÷ 217
    80552 ÷ 131072     		y = 0.61456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376396179199219 × 2 - 1) × π
    -0.247207641601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.77662571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.2291259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.719820484694763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77662571} λ = -0.77662571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.719820484694763))-π/2
    2×atan(0.486839643283221)-π/2
    2×0.453064003119423-π/2
    0.906128006238847-1.57079632675     		φ = -0.66466832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77662571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.497375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66466832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.082690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49335 KachelY 80552 -0.77662571 -0.66466832 -44.497375 -38.082690
    Oben rechts KachelX + 1 49336 KachelY 80552 -0.77657777 -0.66466832 -44.494629 -38.082690
    Unten links KachelX 49335 KachelY + 1 80553 -0.77662571 -0.66470605 -44.497375 -38.084851
    Unten rechts KachelX + 1 49336 KachelY + 1 80553 -0.77657777 -0.66470605 -44.494629 -38.084851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66466832--0.66470605) × R
    3.77300000000691e-05 × 6371000     		dl = 240.37783000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66466832--0.66470605) × R
    3.77300000000691e-05 × 6371000     		dr = 240.37783000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77662571--0.77657777) × cos(-0.66466832) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.787121408012824 × 6371000     		do = 240.407138512558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77662571--0.77657777) × cos(-0.66470605) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.787098135660479 × 6371000     		du = 240.400030537121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66466832)-sin(-0.66470605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787121408012824-0.787098135660479)×R²
    abs(-0.77657777--0.77662571)×2.3272352344339e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3272352344339e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3272352344339e-05×40589641000000     		ar = 57787.6919793652m²