Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49334 / 80553
↖ ↑ ↗
← S 38.084851°
W 44.500122°		 ← 240.40 m → S 38.084851°
W 44.497375°		 →
↑
240.38 m
↓
↑
240.38 m
↓
S 38.087013°
W 44.500122°		 ← 240.39 m →
57 786 m²		 S 38.087013°
W 44.497375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376392364501953 y=0.614574432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376392364501953 × 217)
    floor (0.376392364501953 × 131072)
    floor (49334.5)     		tx = 49334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614574432373047 × 217)
    floor (0.614574432373047 × 131072)
    floor (80553.5)     		ty = 80553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49334 / 80553 ti = "17/49334/80553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49334/80553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49334 ÷ 217
    49334 ÷ 131072     		x = 0.376388549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80553 ÷ 217
    80553 ÷ 131072     		y = 0.614570617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376388549804688 × 2 - 1) × π
    -0.247222900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77667365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614570617675781 × 2 - 1) × π
    -0.229141235351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.719868421594383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77667365} λ = -0.77667365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.719868421594383))-π/2
    2×atan(0.486816306259467)-π/2
    2×0.453045137318381-π/2
    0.906090274636763-1.57079632675     		φ = -0.66470605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77667365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.500122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66470605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.084851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49334 KachelY 80553 -0.77667365 -0.66470605 -44.500122 -38.084851
    Oben rechts KachelX + 1 49335 KachelY 80553 -0.77662571 -0.66470605 -44.497375 -38.084851
    Unten links KachelX 49334 KachelY + 1 80554 -0.77667365 -0.66474378 -44.500122 -38.087013
    Unten rechts KachelX + 1 49335 KachelY + 1 80554 -0.77662571 -0.66474378 -44.497375 -38.087013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66470605--0.66474378) × R
    3.77299999999581e-05 × 6371000     		dl = 240.377829999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66470605--0.66474378) × R
    3.77299999999581e-05 × 6371000     		dr = 240.377829999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77667365--0.77662571) × cos(-0.66470605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787098135660479 × 6371000     		do = 240.400030536565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77667365--0.77662571) × cos(-0.66474378) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787074862187659 × 6371000     		du = 240.392922218906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66470605)-sin(-0.66474378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787098135660479-0.787074862187659)×R²
    abs(-0.77662571--0.77667365)×2.32734728201622e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32734728201622e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32734728201622e-05×40589641000000     		ar = 57785.9833380644m²