Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49326 / 80385
↖ ↑ ↗
← S 37.720763°
W 44.522095°		 ← 241.54 m → S 37.720763°
W 44.519348°		 →
↑
241.59 m
↓
↑
241.59 m
↓
S 37.722936°
W 44.522095°		 ← 241.53 m →
58 353 m²		 S 37.722936°
W 44.519348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376331329345703 y=0.613292694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376331329345703 × 217)
    floor (0.376331329345703 × 131072)
    floor (49326.5)     		tx = 49326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613292694091797 × 217)
    floor (0.613292694091797 × 131072)
    floor (80385.5)     		ty = 80385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49326 / 80385 ti = "17/49326/80385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49326/80385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49326 ÷ 217
    49326 ÷ 131072     		x = 0.376327514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80385 ÷ 217
    80385 ÷ 131072     		y = 0.613288879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376327514648438 × 2 - 1) × π
    -0.247344970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77705714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613288879394531 × 2 - 1) × π
    -0.226577758789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.711815022458214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77705714} λ = -0.77705714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.711815022458214))-π/2
    2×atan(0.490752661524746)-π/2
    2×0.456222408842535-π/2
    0.912444817685069-1.57079632675     		φ = -0.65835151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77705714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.522095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65835151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.720763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49326 KachelY 80385 -0.77705714 -0.65835151 -44.522095 -37.720763
    Oben rechts KachelX + 1 49327 KachelY 80385 -0.77700921 -0.65835151 -44.519348 -37.720763
    Unten links KachelX 49326 KachelY + 1 80386 -0.77705714 -0.65838943 -44.522095 -37.722936
    Unten rechts KachelX + 1 49327 KachelY + 1 80386 -0.77700921 -0.65838943 -44.519348 -37.722936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65835151--0.65838943) × R
    3.79200000000246e-05 × 6371000     		dl = 241.588320000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65835151--0.65838943) × R
    3.79200000000246e-05 × 6371000     		dr = 241.588320000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77705714--0.77700921) × cos(-0.65835151) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.791001874629584 × 6371000     		do = 241.541938170843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77705714--0.77700921) × cos(-0.65838943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.790978674084429 × 6371000     		du = 241.534853605278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65835151)-sin(-0.65838943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791001874629584-0.790978674084429)×R²
    abs(-0.77700921--0.77705714)×2.32005451549222e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32005451549222e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32005451549222e-05×40589641000000     		ar = 58352.8552850755m²