Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49325 / 80381
↖ ↑ ↗
← S 37.712072°
W 44.524841°		 ← 241.62 m → S 37.712072°
W 44.522095°		 →
↑
241.59 m
↓
↑
241.59 m
↓
S 37.714245°
W 44.524841°		 ← 241.61 m →
58 372 m²		 S 37.714245°
W 44.522095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376323699951172 y=0.613262176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376323699951172 × 217)
    floor (0.376323699951172 × 131072)
    floor (49325.5)     		tx = 49325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613262176513672 × 217)
    floor (0.613262176513672 × 131072)
    floor (80381.5)     		ty = 80381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49325 / 80381 ti = "17/49325/80381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49325/80381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49325 ÷ 217
    49325 ÷ 131072     		x = 0.376319885253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80381 ÷ 217
    80381 ÷ 131072     		y = 0.613258361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376319885253906 × 2 - 1) × π
    -0.247360229492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.77710508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613258361816406 × 2 - 1) × π
    -0.226516723632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.711623274859734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77710508} λ = -0.77710508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.711623274859734))-π/2
    2×atan(0.490846771191404)-π/2
    2×0.456298249645723-π/2
    0.912596499291445-1.57079632675     		φ = -0.65819983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77710508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.524841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65819983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.712072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49325 KachelY 80381 -0.77710508 -0.65819983 -44.524841 -37.712072
    Oben rechts KachelX + 1 49326 KachelY 80381 -0.77705714 -0.65819983 -44.522095 -37.712072
    Unten links KachelX 49325 KachelY + 1 80382 -0.77710508 -0.65823775 -44.524841 -37.714245
    Unten rechts KachelX + 1 49326 KachelY + 1 80382 -0.77705714 -0.65823775 -44.522095 -37.714245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65819983--0.65823775) × R
    3.79199999999136e-05 × 6371000     		dl = 241.588319999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65819983--0.65823775) × R
    3.79199999999136e-05 × 6371000     		dr = 241.588319999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77710508--0.77705714) × cos(-0.65819983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.791094665435845 × 6371000     		do = 241.620673600637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77710508--0.77705714) × cos(-0.65823775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.791071469440501 × 6371000     		du = 241.613588946594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65819983)-sin(-0.65823775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791094665435845-0.791071469440501)×R²
    abs(-0.77705714--0.77710508)×2.3195995344838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3195995344838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3195995344838e-05×40589641000000     		ar = 58371.8768346288m²