Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49323 / 80314
↖ ↑ ↗
← S 37.566351°
W 44.530334°		 ← 242.04 m → S 37.566351°
W 44.527588°		 →
↑
242.03 m
↓
↑
242.03 m
↓
S 37.568528°
W 44.530334°		 ← 242.04 m →
58 582 m²		 S 37.568528°
W 44.527588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376308441162109 y=0.612751007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376308441162109 × 217)
    floor (0.376308441162109 × 131072)
    floor (49323.5)     		tx = 49323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612751007080078 × 217)
    floor (0.612751007080078 × 131072)
    floor (80314.5)     		ty = 80314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49323 / 80314 ti = "17/49323/80314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49323/80314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49323 ÷ 217
    49323 ÷ 131072     		x = 0.376304626464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80314 ÷ 217
    80314 ÷ 131072     		y = 0.612747192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376304626464844 × 2 - 1) × π
    -0.247390747070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.77720095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612747192382812 × 2 - 1) × π
    -0.225494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.70841150258519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77720095} λ = -0.77720095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.70841150258519))-π/2
    2×atan(0.492425793615022)-π/2
    2×0.457569904987113-π/2
    0.915139809974226-1.57079632675     		φ = -0.65565652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77720095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.530334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65565652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.566351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49323 KachelY 80314 -0.77720095 -0.65565652 -44.530334 -37.566351
    Oben rechts KachelX + 1 49324 KachelY 80314 -0.77715302 -0.65565652 -44.527588 -37.566351
    Unten links KachelX 49323 KachelY + 1 80315 -0.77720095 -0.65569451 -44.530334 -37.568528
    Unten rechts KachelX + 1 49324 KachelY + 1 80315 -0.77715302 -0.65569451 -44.527588 -37.568528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65565652--0.65569451) × R
    3.79900000000433e-05 × 6371000     		dl = 242.034290000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65565652--0.65569451) × R
    3.79900000000433e-05 × 6371000     		dr = 242.034290000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77720095--0.77715302) × cos(-0.65565652) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.792647831994796 × 6371000     		do = 242.044551053178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77720095--0.77715302) × cos(-0.65569451) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.792624669688583 × 6371000     		du = 242.037478164333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65565652)-sin(-0.65569451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792647831994796-0.792624669688583)×R²
    abs(-0.77715302--0.77720095)×2.31623062132424e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31623062132424e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31623062132424e-05×40589641000000     		ar = 58582.2251287779m²