Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49320 / 81064
↖ ↑ ↗
← S 39.181175°
W 44.538574°		 ← 236.70 m → S 39.181175°
W 44.535828°		 →
↑
236.75 m
↓
↑
236.75 m
↓
S 39.183304°
W 44.538574°		 ← 236.69 m →
56 037 m²		 S 39.183304°
W 44.535828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376285552978516 y=0.618473052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376285552978516 × 217)
    floor (0.376285552978516 × 131072)
    floor (49320.5)     		tx = 49320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618473052978516 × 217)
    floor (0.618473052978516 × 131072)
    floor (81064.5)     		ty = 81064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49320 / 81064 ti = "17/49320/81064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49320/81064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49320 ÷ 217
    49320 ÷ 131072     		x = 0.37628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81064 ÷ 217
    81064 ÷ 131072     		y = 0.61846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.2474365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77734476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61846923828125 × 2 - 1) × π
    -0.2369384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.744364177300232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77734476} λ = -0.77734476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744364177300232))-π/2
    2×atan(0.475036242765052)-π/2
    2×0.443477906847868-π/2
    0.886955813695737-1.57079632675     		φ = -0.68384051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77734476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.538574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68384051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.181175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49320 KachelY 81064 -0.77734476 -0.68384051 -44.538574 -39.181175
    Oben rechts KachelX + 1 49321 KachelY 81064 -0.77729683 -0.68384051 -44.535828 -39.181175
    Unten links KachelX 49320 KachelY + 1 81065 -0.77734476 -0.68387767 -44.538574 -39.183304
    Unten rechts KachelX + 1 49321 KachelY + 1 81065 -0.77729683 -0.68387767 -44.535828 -39.183304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68384051--0.68387767) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dl = 236.746359999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68384051--0.68387767) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dr = 236.746359999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77734476--0.77729683) × cos(-0.68384051) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.775152104386658 × 6371000     		do = 236.702020153879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77734476--0.77729683) × cos(-0.68387767) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.775128627105283 × 6371000     		du = 236.694851083579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68384051)-sin(-0.68387767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775152104386658-0.775128627105283)×R²
    abs(-0.77729683--0.77734476)×2.3477281375528e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3477281375528e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3477281375528e-05×40589641000000     		ar = 56037.4930567748m²