Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49320 / 51592
↖ ↑ ↗
← S 71.314876°
E 90.922852°		 ← 195.68 m → S 71.314876°
E 90.928345°		 →
↑
195.72 m
↓
↑
195.72 m
↓
S 71.316637°
E 90.922852°		 ← 195.66 m →
38 295 m²		 S 71.316637°
E 90.928345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752571105957031 y=0.787239074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752571105957031 × 216)
    floor (0.752571105957031 × 65536)
    floor (49320.5)     		tx = 49320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787239074707031 × 216)
    floor (0.787239074707031 × 65536)
    floor (51592.5)     		ty = 51592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49320 / 51592 ti = "16/49320/51592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49320/51592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49320 ÷ 216
    49320 ÷ 65536     		x = 0.7525634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51592 ÷ 216
    51592 ÷ 65536     		y = 0.7872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7525634765625 × 2 - 1) × π
    0.505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58690313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.574462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80472839689587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58690313} λ = 1.58690313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80472839689587))-π/2
    2×atan(0.164519134417156)-π/2
    2×0.163058461705834-π/2
    0.326116923411668-1.57079632675     		φ = -1.24467940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58690313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.922852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24467940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.314876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49320 KachelY 51592 1.58690313 -1.24467940 90.922852 -71.314876
    Oben rechts KachelX + 1 49321 KachelY 51592 1.58699900 -1.24467940 90.928345 -71.314876
    Unten links KachelX 49320 KachelY + 1 51593 1.58690313 -1.24471012 90.922852 -71.316637
    Unten rechts KachelX + 1 49321 KachelY + 1 51593 1.58699900 -1.24471012 90.928345 -71.316637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24467940--1.24471012) × R
    3.07199999998176e-05 × 6371000     		dl = 195.717119998838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24467940--1.24471012) × R
    3.07199999998176e-05 × 6371000     		dr = 195.717119998838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58690313-1.58699900) × cos(-1.24467940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320367042952561 × 6371000     		do = 195.676271746485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58690313-1.58699900) × cos(-1.24471012) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320337941945359 × 6371000     		du = 195.658497207191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24467940)-sin(-1.24471012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320367042952561-0.320337941945359)×R²
    abs(1.58699900-1.58690313)×2.91010072019926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91010072019926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91010072019926e-05×40589641000000     		ar = 38295.4569704551m²