Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49319 / 58798
↖ ↑ ↗
← N 18.192825°
W 44.541321°		 ← 290.16 m → N 18.192825°
W 44.538574°		 →
↑
290.14 m
↓
↑
290.14 m
↓
N 18.190216°
W 44.541321°		 ← 290.16 m →
84 186 m²		 N 18.190216°
W 44.538574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376277923583984 y=0.448596954345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376277923583984 × 217)
    floor (0.376277923583984 × 131072)
    floor (49319.5)     		tx = 49319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448596954345703 × 217)
    floor (0.448596954345703 × 131072)
    floor (58798.5)     		ty = 58798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49319 / 58798 ti = "17/49319/58798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49319/58798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49319 ÷ 217
    49319 ÷ 131072     		x = 0.376274108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58798 ÷ 217
    58798 ÷ 131072     		y = 0.448593139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376274108886719 × 2 - 1) × π
    -0.247451782226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.77739270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448593139648438 × 2 - 1) × π
    0.102813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.322998829639938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77739270} λ = -0.77739270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322998829639938))-π/2
    2×atan(1.38126373432877)-π/2
    2×0.944160513363179-π/2
    1.88832102672636-1.57079632675     		φ = 0.31752470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77739270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.541321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31752470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.192825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49319 KachelY 58798 -0.77739270 0.31752470 -44.541321 18.192825
    Oben rechts KachelX + 1 49320 KachelY 58798 -0.77734476 0.31752470 -44.538574 18.192825
    Unten links KachelX 49319 KachelY + 1 58799 -0.77739270 0.31747916 -44.541321 18.190216
    Unten rechts KachelX + 1 49320 KachelY + 1 58799 -0.77734476 0.31747916 -44.538574 18.190216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31752470-0.31747916) × R
    4.55400000000106e-05 × 6371000     		dl = 290.135340000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31752470-0.31747916) × R
    4.55400000000106e-05 × 6371000     		dr = 290.135340000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77739270--0.77734476) × cos(0.31752470) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.950011155861323 × 6371000     		do = 290.157860287682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77739270--0.77734476) × cos(0.31747916) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.950025373190885 × 6371000     		du = 290.162202626084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31752470)-sin(0.31747916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950011155861323-0.950025373190885)×R²
    abs(-0.77734476--0.77739270)×1.42173295619719e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.42173295619719e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.42173295619719e-05×40589641000000     		ar = 84185.6793957082m²