Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49316 / 80316
↖ ↑ ↗
← S 37.570705°
W 44.549560°		 ← 242.08 m → S 37.570705°
W 44.546814°		 →
↑
242.03 m
↓
↑
242.03 m
↓
S 37.572882°
W 44.549560°		 ← 242.07 m →
58 591 m²		 S 37.572882°
W 44.546814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376255035400391 y=0.612766265869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376255035400391 × 217)
    floor (0.376255035400391 × 131072)
    floor (49316.5)     		tx = 49316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612766265869141 × 217)
    floor (0.612766265869141 × 131072)
    floor (80316.5)     		ty = 80316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49316 / 80316 ti = "17/49316/80316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49316/80316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49316 ÷ 217
    49316 ÷ 131072     		x = 0.376251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80316 ÷ 217
    80316 ÷ 131072     		y = 0.612762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.24749755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77753651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.22552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.70850737638443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77753651} λ = -0.77753651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.70850737638443))-π/2
    2×atan(0.492378585146408)-π/2
    2×0.457531909017987-π/2
    0.915063818035975-1.57079632675     		φ = -0.65573251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77753651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.549560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65573251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.570705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49316 KachelY 80316 -0.77753651 -0.65573251 -44.549560 -37.570705
    Oben rechts KachelX + 1 49317 KachelY 80316 -0.77748857 -0.65573251 -44.546814 -37.570705
    Unten links KachelX 49316 KachelY + 1 80317 -0.77753651 -0.65577050 -44.549560 -37.572882
    Unten rechts KachelX + 1 49317 KachelY + 1 80317 -0.77748857 -0.65577050 -44.546814 -37.572882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65573251--0.65577050) × R
    3.79900000000433e-05 × 6371000     		dl = 242.034290000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65573251--0.65577050) × R
    3.79900000000433e-05 × 6371000     		dr = 242.034290000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77753651--0.77748857) × cos(-0.65573251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.792601500141022 × 6371000     		do = 242.080899705523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77753651--0.77748857) × cos(-0.65577050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.792578335546645 × 6371000     		du = 242.073824642144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65573251)-sin(-0.65577050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792601500141022-0.792578335546645)×R²
    abs(-0.77748857--0.77753651)×2.31645943763459e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31645943763459e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31645943763459e-05×40589641000000     		ar = 58591.0224859634m²