Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49310 / 80229
↖ ↑ ↗
← S 37.381071°
W 44.566040°		 ← 242.65 m → S 37.381071°
W 44.563294°		 →
↑
242.67 m
↓
↑
242.67 m
↓
S 37.383253°
W 44.566040°		 ← 242.64 m →
58 882 m²		 S 37.383253°
W 44.563294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376209259033203 y=0.612102508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376209259033203 × 217)
    floor (0.376209259033203 × 131072)
    floor (49310.5)     		tx = 49310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612102508544922 × 217)
    floor (0.612102508544922 × 131072)
    floor (80229.5)     		ty = 80229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49310 / 80229 ti = "17/49310/80229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49310/80229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49310 ÷ 217
    49310 ÷ 131072     		x = 0.376205444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80229 ÷ 217
    80229 ÷ 131072     		y = 0.612098693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376205444335938 × 2 - 1) × π
    -0.247589111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77782413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612098693847656 × 2 - 1) × π
    -0.224197387695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.704336866117485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77782413} λ = -0.77782413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704336866117485))-π/2
    2×atan(0.49443634305866)-π/2
    2×0.459186785574193-π/2
    0.918373571148387-1.57079632675     		φ = -0.65242276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77782413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.566040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65242276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.381071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49310 KachelY 80229 -0.77782413 -0.65242276 -44.566040 -37.381071
    Oben rechts KachelX + 1 49311 KachelY 80229 -0.77777620 -0.65242276 -44.563294 -37.381071
    Unten links KachelX 49310 KachelY + 1 80230 -0.77782413 -0.65246085 -44.566040 -37.383253
    Unten rechts KachelX + 1 49311 KachelY + 1 80230 -0.77777620 -0.65246085 -44.563294 -37.383253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65242276--0.65246085) × R
    3.80899999999906e-05 × 6371000     		dl = 242.67138999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65242276--0.65246085) × R
    3.80899999999906e-05 × 6371000     		dr = 242.67138999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77782413--0.77777620) × cos(-0.65242276) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.794615242155419 × 6371000     		do = 242.645323413107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77782413--0.77777620) × cos(-0.65246085) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.794592116631579 × 6371000     		du = 242.638261756202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65242276)-sin(-0.65246085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794615242155419-0.794592116631579)×R²
    abs(-0.77777620--0.77782413)×2.31255238406503e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.31255238406503e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.31255238406503e-05×40589641000000     		ar = 58882.2210856502m²