Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49309 / 80293
↖ ↑ ↗
← S 37.520618°
W 44.568787°		 ← 242.24 m → S 37.520618°
W 44.566040°		 →
↑
242.23 m
↓
↑
242.23 m
↓
S 37.522797°
W 44.568787°		 ← 242.24 m →
58 677 m²		 S 37.522797°
W 44.566040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376201629638672 y=0.612590789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376201629638672 × 217)
    floor (0.376201629638672 × 131072)
    floor (49309.5)     		tx = 49309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612590789794922 × 217)
    floor (0.612590789794922 × 131072)
    floor (80293.5)     		ty = 80293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49309 / 80293 ti = "17/49309/80293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49309/80293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49309 ÷ 217
    49309 ÷ 131072     		x = 0.376197814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80293 ÷ 217
    80293 ÷ 131072     		y = 0.612586975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376197814941406 × 2 - 1) × π
    -0.247604370117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.77787207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612586975097656 × 2 - 1) × π
    -0.225173950195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.707404827693169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77787207} λ = -0.77787207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707404827693169))-π/2
    2×atan(0.49292175589214)-π/2
    2×0.457968996739689-π/2
    0.915937993479379-1.57079632675     		φ = -0.65485833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77787207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.568787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65485833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.520618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49309 KachelY 80293 -0.77787207 -0.65485833 -44.568787 -37.520618
    Oben rechts KachelX + 1 49310 KachelY 80293 -0.77782413 -0.65485833 -44.566040 -37.520618
    Unten links KachelX 49309 KachelY + 1 80294 -0.77787207 -0.65489635 -44.568787 -37.522797
    Unten rechts KachelX + 1 49310 KachelY + 1 80294 -0.77782413 -0.65489635 -44.566040 -37.522797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65485833--0.65489635) × R
    3.8019999999972e-05 × 6371000     		dl = 242.225419999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65485833--0.65489635) × R
    3.8019999999972e-05 × 6371000     		dr = 242.225419999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77787207--0.77782413) × cos(-0.65485833) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.793134219732983 × 6371000     		do = 242.243605981671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77787207--0.77782413) × cos(-0.65489635) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.793111063197133 × 6371000     		du = 242.236533379573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65485833)-sin(-0.65489635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793134219732983-0.793111063197133)×R²
    abs(-0.77782413--0.77787207)×2.31565358503882e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31565358503882e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31565358503882e-05×40589641000000     		ar = 58676.7026261421m²