Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49308 / 80276
↖ ↑ ↗
← S 37.483577°
W 44.571533°		 ← 242.36 m → S 37.483577°
W 44.568787°		 →
↑
242.29 m
↓
↑
242.29 m
↓
S 37.485756°
W 44.571533°		 ← 242.36 m →
58 721 m²		 S 37.485756°
W 44.568787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376194000244141 y=0.612461090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376194000244141 × 217)
    floor (0.376194000244141 × 131072)
    floor (49308.5)     		tx = 49308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612461090087891 × 217)
    floor (0.612461090087891 × 131072)
    floor (80276.5)     		ty = 80276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49308 / 80276 ti = "17/49308/80276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49308/80276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49308 ÷ 217
    49308 ÷ 131072     		x = 0.376190185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80276 ÷ 217
    80276 ÷ 131072     		y = 0.612457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.24761962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77792001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.22491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.706589900399628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77792001} λ = -0.77792001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.706589900399628))-π/2
    2×atan(0.493323615005336)-π/2
    2×0.458292250291317-π/2
    0.916584500582633-1.57079632675     		φ = -0.65421183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77792001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.571533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65421183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.483577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49308 KachelY 80276 -0.77792001 -0.65421183 -44.571533 -37.483577
    Oben rechts KachelX + 1 49309 KachelY 80276 -0.77787207 -0.65421183 -44.568787 -37.483577
    Unten links KachelX 49308 KachelY + 1 80277 -0.77792001 -0.65424986 -44.571533 -37.485756
    Unten rechts KachelX + 1 49309 KachelY + 1 80277 -0.77787207 -0.65424986 -44.568787 -37.485756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65421183--0.65424986) × R
    3.80299999999112e-05 × 6371000     		dl = 242.289129999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65421183--0.65424986) × R
    3.80299999999112e-05 × 6371000     		dr = 242.289129999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77792001--0.77787207) × cos(-0.65421183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793527802767353 × 6371000     		do = 242.363816370634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77792001--0.77787207) × cos(-0.65424986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793504659645598 × 6371000     		du = 242.356747865546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65421183)-sin(-0.65424986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793527802767353-0.793504659645598)×R²
    abs(-0.77787207--0.77792001)×2.31431217551092e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31431217551092e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31431217551092e-05×40589641000000     		ar = 58721.2619077714m²