Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49307 / 80250
↖ ↑ ↗
← S 37.426888°
W 44.574280°		 ← 242.50 m → S 37.426888°
W 44.571533°		 →
↑
242.54 m
↓
↑
242.54 m
↓
S 37.429070°
W 44.574280°		 ← 242.49 m →
58 815 m²		 S 37.429070°
W 44.571533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376186370849609 y=0.612262725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376186370849609 × 217)
    floor (0.376186370849609 × 131072)
    floor (49307.5)     		tx = 49307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612262725830078 × 217)
    floor (0.612262725830078 × 131072)
    floor (80250.5)     		ty = 80250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49307 / 80250 ti = "17/49307/80250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49307/80250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49307 ÷ 217
    49307 ÷ 131072     		x = 0.376182556152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80250 ÷ 217
    80250 ÷ 131072     		y = 0.612258911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376182556152344 × 2 - 1) × π
    -0.247634887695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.77796794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612258911132812 × 2 - 1) × π
    -0.224517822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.705343541009506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77796794} λ = -0.77796794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.705343541009506))-π/2
    2×atan(0.493938856851849)-π/2
    2×0.45878694820485-π/2
    0.9175738964097-1.57079632675     		φ = -0.65322243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77796794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.574280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65322243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.426888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49307 KachelY 80250 -0.77796794 -0.65322243 -44.574280 -37.426888
    Oben rechts KachelX + 1 49308 KachelY 80250 -0.77792001 -0.65322243 -44.571533 -37.426888
    Unten links KachelX 49307 KachelY + 1 80251 -0.77796794 -0.65326050 -44.574280 -37.429070
    Unten rechts KachelX + 1 49308 KachelY + 1 80251 -0.77792001 -0.65326050 -44.571533 -37.429070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65322243--0.65326050) × R
    3.80700000000012e-05 × 6371000     		dl = 242.543970000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65322243--0.65326050) × R
    3.80700000000012e-05 × 6371000     		dr = 242.543970000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77796794--0.77792001) × cos(-0.65322243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.794129497809292 × 6371000     		do = 242.496995534074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77796794--0.77792001) × cos(-0.65326050) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.794106360245249 × 6371000     		du = 242.489930200549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65322243)-sin(-0.65326050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794129497809292-0.794106360245249)×R²
    abs(-0.77792001--0.77796794)×2.31375640429299e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31375640429299e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31375640429299e-05×40589641000000     		ar = 58815.3271898597m²