Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49305 / 80297
↖ ↑ ↗
← S 37.529332°
W 44.579773°		 ← 242.22 m → S 37.529332°
W 44.577026°		 →
↑
242.16 m
↓
↑
242.16 m
↓
S 37.531510°
W 44.579773°		 ← 242.21 m →
58 654 m²		 S 37.531510°
W 44.577026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376171112060547 y=0.612621307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376171112060547 × 217)
    floor (0.376171112060547 × 131072)
    floor (49305.5)     		tx = 49305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612621307373047 × 217)
    floor (0.612621307373047 × 131072)
    floor (80297.5)     		ty = 80297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49305 / 80297 ti = "17/49305/80297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49305/80297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49305 ÷ 217
    49305 ÷ 131072     		x = 0.376167297363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80297 ÷ 217
    80297 ÷ 131072     		y = 0.612617492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376167297363281 × 2 - 1) × π
    -0.247665405273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.77806382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612617492675781 × 2 - 1) × π
    -0.225234985351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.707596575291649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77806382} λ = -0.77806382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707596575291649))-π/2
    2×atan(0.492827248390291)-π/2
    2×0.457892960389196-π/2
    0.915785920778393-1.57079632675     		φ = -0.65501041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77806382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.579773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65501041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.529332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49305 KachelY 80297 -0.77806382 -0.65501041 -44.579773 -37.529332
    Oben rechts KachelX + 1 49306 KachelY 80297 -0.77801588 -0.65501041 -44.577026 -37.529332
    Unten links KachelX 49305 KachelY + 1 80298 -0.77806382 -0.65504842 -44.579773 -37.531510
    Unten rechts KachelX + 1 49306 KachelY + 1 80298 -0.77801588 -0.65504842 -44.577026 -37.531510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65501041--0.65504842) × R
    3.80099999999217e-05 × 6371000     		dl = 242.161709999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65501041--0.65504842) × R
    3.80099999999217e-05 × 6371000     		dr = 242.161709999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77806382--0.77801588) × cos(-0.65501041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793041586710966 × 6371000     		do = 242.215313471812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77806382--0.77801588) × cos(-0.65504842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.79301843168146 × 6371000     		du = 242.208241329791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65501041)-sin(-0.65504842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793041586710966-0.79301843168146)×R²
    abs(-0.77801588--0.77806382)×2.31550295058947e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31550295058947e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31550295058947e-05×40589641000000     		ar = 58654.4182043842m²