Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49303 / 80281
↖ ↑ ↗
← S 37.494473°
W 44.585266°		 ← 242.33 m → S 37.494473°
W 44.582519°		 →
↑
242.29 m
↓
↑
242.29 m
↓
S 37.496652°
W 44.585266°		 ← 242.32 m →
58 713 m²		 S 37.496652°
W 44.582519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376155853271484 y=0.612499237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376155853271484 × 217)
    floor (0.376155853271484 × 131072)
    floor (49303.5)     		tx = 49303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612499237060547 × 217)
    floor (0.612499237060547 × 131072)
    floor (80281.5)     		ty = 80281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49303 / 80281 ti = "17/49303/80281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49303/80281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49303 ÷ 217
    49303 ÷ 131072     		x = 0.376152038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80281 ÷ 217
    80281 ÷ 131072     		y = 0.612495422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376152038574219 × 2 - 1) × π
    -0.247695922851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.77815969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612495422363281 × 2 - 1) × π
    -0.224990844726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.706829584897728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77815969} λ = -0.77815969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.706829584897728))-π/2
    2×atan(0.493205387151531)-π/2
    2×0.458197159070035-π/2
    0.91639431814007-1.57079632675     		φ = -0.65440201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77815969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.585266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65440201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.494473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49303 KachelY 80281 -0.77815969 -0.65440201 -44.585266 -37.494473
    Oben rechts KachelX + 1 49304 KachelY 80281 -0.77811175 -0.65440201 -44.582519 -37.494473
    Unten links KachelX 49303 KachelY + 1 80282 -0.77815969 -0.65444004 -44.585266 -37.496652
    Unten rechts KachelX + 1 49304 KachelY + 1 80282 -0.77811175 -0.65444004 -44.582519 -37.496652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65440201--0.65444004) × R
    3.80300000000222e-05 × 6371000     		dl = 242.289130000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65440201--0.65444004) × R
    3.80300000000222e-05 × 6371000     		dr = 242.289130000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77815969--0.77811175) × cos(-0.65440201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793412057422059 × 6371000     		do = 242.328464762896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77815969--0.77811175) × cos(-0.65444004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.79338890856158 × 6371000     		du = 242.321394505054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65440201)-sin(-0.65444004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793412057422059-0.79338890856158)×R²
    abs(-0.77811175--0.77815969)×2.31488604788277e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31488604788277e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31488604788277e-05×40589641000000     		ar = 58712.6963853383m²