Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49302 / 80339
↖ ↑ ↗
← S 37.620758°
W 44.588013°		 ← 241.92 m → S 37.620758°
W 44.585266°		 →
↑
241.91 m
↓
↑
241.91 m
↓
S 37.622934°
W 44.588013°		 ← 241.91 m →
58 521 m²		 S 37.622934°
W 44.585266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376148223876953 y=0.612941741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376148223876953 × 217)
    floor (0.376148223876953 × 131072)
    floor (49302.5)     		tx = 49302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612941741943359 × 217)
    floor (0.612941741943359 × 131072)
    floor (80339.5)     		ty = 80339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49302 / 80339 ti = "17/49302/80339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49302/80339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49302 ÷ 217
    49302 ÷ 131072     		x = 0.376144409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80339 ÷ 217
    80339 ÷ 131072     		y = 0.612937927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376144409179688 × 2 - 1) × π
    -0.247711181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77820763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612937927246094 × 2 - 1) × π
    -0.225875854492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.709609925075691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77820763} λ = -0.77820763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.709609925075691))-π/2
    2×atan(0.491836012942849)-π/2
    2×0.457095115037585-π/2
    0.914190230075169-1.57079632675     		φ = -0.65660610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77820763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.588013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65660610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.620758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49302 KachelY 80339 -0.77820763 -0.65660610 -44.588013 -37.620758
    Oben rechts KachelX + 1 49303 KachelY 80339 -0.77815969 -0.65660610 -44.585266 -37.620758
    Unten links KachelX 49302 KachelY + 1 80340 -0.77820763 -0.65664407 -44.588013 -37.622934
    Unten rechts KachelX + 1 49303 KachelY + 1 80340 -0.77815969 -0.65664407 -44.585266 -37.622934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65660610--0.65664407) × R
    3.79700000000538e-05 × 6371000     		dl = 241.906870000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65660610--0.65664407) × R
    3.79700000000538e-05 × 6371000     		dr = 241.906870000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77820763--0.77815969) × cos(-0.65660610) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.792068535005545 × 6371000     		do = 241.918118435186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77820763--0.77815969) × cos(-0.65664407) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.792045356325032 × 6371000     		du = 241.911039069538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65660610)-sin(-0.65664407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792068535005545-0.792045356325032)×R²
    abs(-0.77815969--0.77820763)×2.31786805126033e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31786805126033e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31786805126033e-05×40589641000000     		ar = 58520.7985604786m²