Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49301 / 80277
↖ ↑ ↗
← S 37.485756°
W 44.590760°		 ← 242.36 m → S 37.485756°
W 44.588013°		 →
↑
242.35 m
↓
↑
242.35 m
↓
S 37.487935°
W 44.590760°		 ← 242.35 m →
58 735 m²		 S 37.487935°
W 44.588013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376140594482422 y=0.612468719482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376140594482422 × 217)
    floor (0.376140594482422 × 131072)
    floor (49301.5)     		tx = 49301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612468719482422 × 217)
    floor (0.612468719482422 × 131072)
    floor (80277.5)     		ty = 80277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49301 / 80277 ti = "17/49301/80277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49301/80277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49301 ÷ 217
    49301 ÷ 131072     		x = 0.376136779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80277 ÷ 217
    80277 ÷ 131072     		y = 0.612464904785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376136779785156 × 2 - 1) × π
    -0.247726440429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.77825557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612464904785156 × 2 - 1) × π
    -0.224929809570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.706637837299248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77825557} λ = -0.77825557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.706637837299248))-π/2
    2×atan(0.49329996716753)-π/2
    2×0.458273230937363-π/2
    0.916546461874726-1.57079632675     		φ = -0.65424986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77825557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.590760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65424986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.485756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49301 KachelY 80277 -0.77825557 -0.65424986 -44.590760 -37.485756
    Oben rechts KachelX + 1 49302 KachelY 80277 -0.77820763 -0.65424986 -44.588013 -37.485756
    Unten links KachelX 49301 KachelY + 1 80278 -0.77825557 -0.65428790 -44.590760 -37.487935
    Unten rechts KachelX + 1 49302 KachelY + 1 80278 -0.77820763 -0.65428790 -44.588013 -37.487935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65424986--0.65428790) × R
    3.80400000000725e-05 × 6371000     		dl = 242.352840000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65424986--0.65428790) × R
    3.80400000000725e-05 × 6371000     		dr = 242.352840000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77825557--0.77820763) × cos(-0.65424986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793504659645598 × 6371000     		do = 242.356747865546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77825557--0.77820763) × cos(-0.65428790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793481509290269 × 6371000     		du = 242.349677151138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65424986)-sin(-0.65428790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793504659645598-0.793481509290269)×R²
    abs(-0.77820763--0.77825557)×2.31503553295154e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31503553295154e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31503553295154e-05×40589641000000     		ar = 58734.9893418423m²