Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49301 / 80275
↖ ↑ ↗
← S 37.481397°
W 44.590760°		 ← 242.37 m → S 37.481397°
W 44.588013°		 →
↑
242.35 m
↓
↑
242.35 m
↓
S 37.483577°
W 44.590760°		 ← 242.36 m →
58 738 m²		 S 37.483577°
W 44.588013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376140594482422 y=0.612453460693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376140594482422 × 217)
    floor (0.376140594482422 × 131072)
    floor (49301.5)     		tx = 49301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612453460693359 × 217)
    floor (0.612453460693359 × 131072)
    floor (80275.5)     		ty = 80275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49301 / 80275 ti = "17/49301/80275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49301/80275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49301 ÷ 217
    49301 ÷ 131072     		x = 0.376136779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80275 ÷ 217
    80275 ÷ 131072     		y = 0.612449645996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376136779785156 × 2 - 1) × π
    -0.247726440429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.77825557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612449645996094 × 2 - 1) × π
    -0.224899291992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.706541963500008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77825557} λ = -0.77825557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.706541963500008))-π/2
    2×atan(0.493347263976774)-π/2
    2×0.458311270200096-π/2
    0.916622540400193-1.57079632675     		φ = -0.65417379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77825557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.590760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65417379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.481397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49301 KachelY 80275 -0.77825557 -0.65417379 -44.590760 -37.481397
    Oben rechts KachelX + 1 49302 KachelY 80275 -0.77820763 -0.65417379 -44.588013 -37.481397
    Unten links KachelX 49301 KachelY + 1 80276 -0.77825557 -0.65421183 -44.590760 -37.483577
    Unten rechts KachelX + 1 49302 KachelY + 1 80276 -0.77820763 -0.65421183 -44.588013 -37.483577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65417379--0.65421183) × R
    3.80400000000725e-05 × 6371000     		dl = 242.352840000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65417379--0.65421183) × R
    3.80400000000725e-05 × 6371000     		dr = 242.352840000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77825557--0.77820763) × cos(-0.65417379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793550950826482 × 6371000     		do = 242.370886383723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77825557--0.77820763) × cos(-0.65421183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793527802767353 × 6371000     		du = 242.363816370634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65417379)-sin(-0.65421183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793550950826482-0.793527802767353)×R²
    abs(-0.77820763--0.77825557)×2.31480591292854e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31480591292854e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31480591292854e-05×40589641000000     		ar = 58738.4159367831m²