Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4930 / 4926
↖ ↑ ↗
← N 58.101106°
W 71.674805°		 ← 1 291.05 m → N 58.101106°
W 71.652832°		 →
↑
1 291.27 m
↓
↑
1 291.27 m
↓
N 58.089493°
W 71.674805°		 ← 1 291.47 m →
1 667 369 m²		 N 58.089493°
W 71.652832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.300933837890625 y=0.300689697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.300933837890625 × 214)
    floor (0.300933837890625 × 16384)
    floor (4930.5)     		tx = 4930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300689697265625 × 214)
    floor (0.300689697265625 × 16384)
    floor (4926.5)     		ty = 4926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4930 / 4926 ti = "14/4930/4926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4930/4926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4930 ÷ 214
    4930 ÷ 16384     		x = 0.3009033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4926 ÷ 214
    4926 ÷ 16384     		y = 0.3006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3009033203125 × 2 - 1) × π
    -0.398193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.25096133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3006591796875 × 2 - 1) × π
    0.398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25249531327283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.25096133} λ = -1.25096133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25249531327283))-π/2
    2×atan(3.49906333207873)-π/2
    2×1.29242595837627-π/2
    2.58485191675254-1.57079632675     		φ = 1.01405559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.25096133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.674805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01405559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.101106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4930 KachelY 4926 -1.25096133 1.01405559 -71.674805 58.101106
    Oben rechts KachelX + 1 4931 KachelY 4926 -1.25057784 1.01405559 -71.652832 58.101106
    Unten links KachelX 4930 KachelY + 1 4927 -1.25096133 1.01385291 -71.674805 58.089493
    Unten rechts KachelX + 1 4931 KachelY + 1 4927 -1.25057784 1.01385291 -71.652832 58.089493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01405559-1.01385291) × R
    0.0002026799999999 × 6371000     		dl = 1291.27427999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01405559-1.01385291) × R
    0.0002026799999999 × 6371000     		dr = 1291.27427999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.25096133--1.25057784) × cos(1.01405559) × R
    0.000383489999999931 × 0.528421954062251 × 6371000     		do = 1291.04833352536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.25096133--1.25057784) × cos(1.01385291) × R
    0.000383489999999931 × 0.528594014855644 × 6371000     		du = 1291.46871500056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01405559)-sin(1.01385291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528421954062251-0.528594014855644)×R²
    abs(-1.25057784--1.25096133)×0.000172060793393158×R²
    0.000383489999999931×0.000172060793393158×6371000²
    0.000383489999999931×0.000172060793393158×40589641000000     		ar = 1667368.92691734m²