Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 493 / 236
↖ ↑ ↗
← N 69.162558°
W  6.679688°		 ← 13.906 km → N 69.162558°
W  6.328125°		 →
↑
13.946 km
↓
↑
13.946 km
↓
N 69.037142°
W  6.679688°		 ← 13.986 km →
194.481 km²		 N 69.037142°
W  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48193359375 y=0.23095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48193359375 × 210)
    floor (0.48193359375 × 1024)
    floor (493.5)     		tx = 493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23095703125 × 210)
    floor (0.23095703125 × 1024)
    floor (236.5)     		ty = 236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 493 / 236 ti = "10/493/236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/493/236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 493 ÷ 210
    493 ÷ 1024     		x = 0.4814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 236 ÷ 210
    236 ÷ 1024     		y = 0.23046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4814453125 × 2 - 1) × π
    -0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23046875 × 2 - 1) × π
    0.5390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69351478977734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11658254} λ = -0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69351478977734))-π/2
    2×atan(5.43856255521356)-π/2
    2×1.38895534068768-π/2
    2.77791068137535-1.57079632675     		φ = 1.20711435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20711435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.162558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 493 KachelY 236 -0.11658254 1.20711435 -6.679688 69.162558
    Oben rechts KachelX + 1 494 KachelY 236 -0.11044662 1.20711435 -6.328125 69.162558
    Unten links KachelX 493 KachelY + 1 237 -0.11658254 1.20492543 -6.679688 69.037142
    Unten rechts KachelX + 1 494 KachelY + 1 237 -0.11044662 1.20492543 -6.328125 69.037142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20711435-1.20492543) × R
    0.00218891999999982 × 6371000     		dl = 13945.6093199988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20711435-1.20492543) × R
    0.00218891999999982 × 6371000     		dr = 13945.6093199988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11658254--0.11044662) × cos(1.20711435) × R
    0.00613592 × 0.355717787996262 × 6371000     		do = 13905.700673419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11658254--0.11044662) × cos(1.20492543) × R
    0.00613592 × 0.357762684397617 × 6371000     		du = 13985.6396537708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20711435)-sin(1.20492543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355717787996262-0.357762684397617)×R²
    abs(-0.11044662--0.11658254)×0.00204489640135497×R²
    0.00613592×0.00204489640135497×6371000²
    0.00613592×0.00204489640135497×40589641000000     		ar = 194480945.459591m²