Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49299 / 80287
↖ ↑ ↗
← S 37.507547°
W 44.596252°		 ← 242.29 m → S 37.507547°
W 44.593506°		 →
↑
242.29 m
↓
↑
242.29 m
↓
S 37.509726°
W 44.596252°		 ← 242.28 m →
58 702 m²		 S 37.509726°
W 44.593506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376125335693359 y=0.612545013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376125335693359 × 217)
    floor (0.376125335693359 × 131072)
    floor (49299.5)     		tx = 49299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612545013427734 × 217)
    floor (0.612545013427734 × 131072)
    floor (80287.5)     		ty = 80287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49299 / 80287 ti = "17/49299/80287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49299/80287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49299 ÷ 217
    49299 ÷ 131072     		x = 0.376121520996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80287 ÷ 217
    80287 ÷ 131072     		y = 0.612541198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376121520996094 × 2 - 1) × π
    -0.247756958007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.77835144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612541198730469 × 2 - 1) × π
    -0.225082397460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.707117206295448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77835144} λ = -0.77835144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707117206295448))-π/2
    2×atan(0.49306355112723)-π/2
    2×0.458083067915752-π/2
    0.916166135831504-1.57079632675     		φ = -0.65463019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77835144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.596252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65463019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.507547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49299 KachelY 80287 -0.77835144 -0.65463019 -44.596252 -37.507547
    Oben rechts KachelX + 1 49300 KachelY 80287 -0.77830350 -0.65463019 -44.593506 -37.507547
    Unten links KachelX 49299 KachelY + 1 80288 -0.77835144 -0.65466822 -44.596252 -37.509726
    Unten rechts KachelX + 1 49300 KachelY + 1 80288 -0.77830350 -0.65466822 -44.593506 -37.509726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65463019--0.65466822) × R
    3.80300000000222e-05 × 6371000     		dl = 242.289130000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65463019--0.65466822) × R
    3.80300000000222e-05 × 6371000     		dr = 242.289130000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77835144--0.77830350) × cos(-0.65463019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793273147047907 × 6371000     		do = 242.286037959077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77835144--0.77830350) × cos(-0.65466822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793249991303151 × 6371000     		du = 242.2789655986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65463019)-sin(-0.65466822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793273147047907-0.793249991303151)×R²
    abs(-0.77830350--0.77835144)×2.3155744755976e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3155744755976e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3155744755976e-05×40589641000000     		ar = 58702.4165774001m²