Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49298 / 81098
↖ ↑ ↗
← S 39.253525°
W 44.598999°		 ← 236.51 m → S 39.253525°
W 44.596252°		 →
↑
236.49 m
↓
↑
236.49 m
↓
S 39.255652°
W 44.598999°		 ← 236.50 m →
55 931 m²		 S 39.255652°
W 44.596252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376117706298828 y=0.618732452392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376117706298828 × 217)
    floor (0.376117706298828 × 131072)
    floor (49298.5)     		tx = 49298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618732452392578 × 217)
    floor (0.618732452392578 × 131072)
    floor (81098.5)     		ty = 81098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49298 / 81098 ti = "17/49298/81098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49298/81098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49298 ÷ 217
    49298 ÷ 131072     		x = 0.376113891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81098 ÷ 217
    81098 ÷ 131072     		y = 0.618728637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376113891601562 × 2 - 1) × π
    -0.247772216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77839938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618728637695312 × 2 - 1) × π
    -0.237457275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.745994031887314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77839938} λ = -0.77839938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745994031887314))-π/2
    2×atan(0.474262633372412)-π/2
    2×0.44284653952638-π/2
    0.88569307905276-1.57079632675     		φ = -0.68510325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77839938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.598999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68510325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.253525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49298 KachelY 81098 -0.77839938 -0.68510325 -44.598999 -39.253525
    Oben rechts KachelX + 1 49299 KachelY 81098 -0.77835144 -0.68510325 -44.596252 -39.253525
    Unten links KachelX 49298 KachelY + 1 81099 -0.77839938 -0.68514037 -44.598999 -39.255652
    Unten rechts KachelX + 1 49299 KachelY + 1 81099 -0.77835144 -0.68514037 -44.596252 -39.255652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68510325--0.68514037) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dl = 236.49152000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68510325--0.68514037) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dr = 236.49152000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77839938--0.77835144) × cos(-0.68510325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774353719475744 × 6371000     		do = 236.507557792477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77839938--0.77835144) × cos(-0.68514037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774330231152129 × 6371000     		du = 236.500383853855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68510325)-sin(-0.68514037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774353719475744-0.774330231152129)×R²
    abs(-0.77835144--0.77839938)×2.34883236150951e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34883236150951e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34883236150951e-05×40589641000000     		ar = 55931.183552236m²