Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49296 / 80080
↖ ↑ ↗
← S 37.055177°
W 44.604492°		 ← 243.75 m → S 37.055177°
W 44.601745°		 →
↑
243.69 m
↓
↑
243.69 m
↓
S 37.057369°
W 44.604492°		 ← 243.74 m →
59 398 m²		 S 37.057369°
W 44.601745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376102447509766 y=0.610965728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376102447509766 × 217)
    floor (0.376102447509766 × 131072)
    floor (49296.5)     		tx = 49296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.610965728759766 × 217)
    floor (0.610965728759766 × 131072)
    floor (80080.5)     		ty = 80080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49296 / 80080 ti = "17/49296/80080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49296/80080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49296 ÷ 217
    49296 ÷ 131072     		x = 0.3760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80080 ÷ 217
    80080 ÷ 131072     		y = 0.6109619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6109619140625 × 2 - 1) × π
    -0.221923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.697194268074097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77849525} λ = -0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.697194268074097))-π/2
    2×atan(0.497980545453936)-π/2
    2×0.462030740694971-π/2
    0.924061481389942-1.57079632675     		φ = -0.64673485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64673485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.055177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49296 KachelY 80080 -0.77849525 -0.64673485 -44.604492 -37.055177
    Oben rechts KachelX + 1 49297 KachelY 80080 -0.77844731 -0.64673485 -44.601745 -37.055177
    Unten links KachelX 49296 KachelY + 1 80081 -0.77849525 -0.64677310 -44.604492 -37.057369
    Unten rechts KachelX + 1 49297 KachelY + 1 80081 -0.77844731 -0.64677310 -44.601745 -37.057369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64673485--0.64677310) × R
    3.82500000000174e-05 × 6371000     		dl = 243.690750000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64673485--0.64677310) × R
    3.82500000000174e-05 × 6371000     		dr = 243.690750000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77849525--0.77844731) × cos(-0.64673485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.798055575828287 × 6371000     		do = 243.746714808321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77849525--0.77844731) × cos(-0.64677310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.798032526412176 × 6371000     		du = 243.739674923349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64673485)-sin(-0.64677310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.798055575828287-0.798032526412176)×R²
    abs(-0.77844731--0.77849525)×2.30494161105321e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30494161105321e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30494161105321e-05×40589641000000     		ar = 59397.9619716724m²