Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49295 / 80591
↖ ↑ ↗
← S 38.166955°
W 44.607239°		 ← 240.13 m → S 38.166955°
W 44.604492°		 →
↑
240.06 m
↓
↑
240.06 m
↓
S 38.169114°
W 44.607239°		 ← 240.12 m →
57 645 m²		 S 38.169114°
W 44.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376094818115234 y=0.614864349365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376094818115234 × 217)
    floor (0.376094818115234 × 131072)
    floor (49295.5)     		tx = 49295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614864349365234 × 217)
    floor (0.614864349365234 × 131072)
    floor (80591.5)     		ty = 80591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49295 / 80591 ti = "17/49295/80591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49295/80591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49295 ÷ 217
    49295 ÷ 131072     		x = 0.376091003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80591 ÷ 217
    80591 ÷ 131072     		y = 0.614860534667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376091003417969 × 2 - 1) × π
    -0.247817993164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.77854319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614860534667969 × 2 - 1) × π
    -0.229721069335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.721690023779945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77854319} λ = -0.77854319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.721690023779945))-π/2
    2×atan(0.48593032780715)-π/2
    2×0.452328650326018-π/2
    0.904657300652037-1.57079632675     		φ = -0.66613903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77854319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.607239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66613903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.166955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49295 KachelY 80591 -0.77854319 -0.66613903 -44.607239 -38.166955
    Oben rechts KachelX + 1 49296 KachelY 80591 -0.77849525 -0.66613903 -44.604492 -38.166955
    Unten links KachelX 49295 KachelY + 1 80592 -0.77854319 -0.66617671 -44.607239 -38.169114
    Unten rechts KachelX + 1 49296 KachelY + 1 80592 -0.77849525 -0.66617671 -44.604492 -38.169114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66613903--0.66617671) × R
    3.76800000000399e-05 × 6371000     		dl = 240.059280000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66613903--0.66617671) × R
    3.76800000000399e-05 × 6371000     		dr = 240.059280000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77854319--0.77849525) × cos(-0.66613903) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.786213425947786 × 6371000     		do = 240.129817418436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77854319--0.77849525) × cos(-0.66617671) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.786190140843228 × 6371000     		du = 240.122705548146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66613903)-sin(-0.66617671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786213425947786-0.786190140843228)×R²
    abs(-0.77849525--0.77854319)×2.32851045580684e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.32851045580684e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.32851045580684e-05×40589641000000     		ar = 57644.5374475762m²