Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49295 / 80239
↖ ↑ ↗
← S 37.402892°
W 44.607239°		 ← 242.63 m → S 37.402892°
W 44.604492°		 →
↑
242.61 m
↓
↑
242.61 m
↓
S 37.405074°
W 44.607239°		 ← 242.62 m →
58 862 m²		 S 37.405074°
W 44.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376094818115234 y=0.612178802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376094818115234 × 217)
    floor (0.376094818115234 × 131072)
    floor (49295.5)     		tx = 49295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612178802490234 × 217)
    floor (0.612178802490234 × 131072)
    floor (80239.5)     		ty = 80239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49295 / 80239 ti = "17/49295/80239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49295/80239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49295 ÷ 217
    49295 ÷ 131072     		x = 0.376091003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80239 ÷ 217
    80239 ÷ 131072     		y = 0.612174987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376091003417969 × 2 - 1) × π
    -0.247817993164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.77854319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612174987792969 × 2 - 1) × π
    -0.224349975585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.704816235113686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77854319} λ = -0.77854319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704816235113686))-π/2
    2×atan(0.494199382405536)-π/2
    2×0.458996356334446-π/2
    0.917992712668891-1.57079632675     		φ = -0.65280361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77854319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.607239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65280361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.402892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49295 KachelY 80239 -0.77854319 -0.65280361 -44.607239 -37.402892
    Oben rechts KachelX + 1 49296 KachelY 80239 -0.77849525 -0.65280361 -44.604492 -37.402892
    Unten links KachelX 49295 KachelY + 1 80240 -0.77854319 -0.65284169 -44.607239 -37.405074
    Unten rechts KachelX + 1 49296 KachelY + 1 80240 -0.77849525 -0.65284169 -44.604492 -37.405074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65280361--0.65284169) × R
    3.80800000000514e-05 × 6371000     		dl = 242.607680000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65280361--0.65284169) × R
    3.80800000000514e-05 × 6371000     		dr = 242.607680000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77854319--0.77849525) × cos(-0.65280361) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.794383965414377 × 6371000     		do = 242.625310481223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77854319--0.77849525) × cos(-0.65284169) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.794360834439696 × 6371000     		du = 242.618245686164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65280361)-sin(-0.65284169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794383965414377-0.794360834439696)×R²
    abs(-0.77849525--0.77854319)×2.31309746804298e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31309746804298e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31309746804298e-05×40589641000000     		ar = 58861.9067056501m²