Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49293 / 80353
↖ ↑ ↗
← S 37.651209°
W 44.612732°		 ← 241.82 m → S 37.651209°
W 44.609985°		 →
↑
241.78 m
↓
↑
241.78 m
↓
S 37.653383°
W 44.612732°		 ← 241.81 m →
58 466 m²		 S 37.653383°
W 44.609985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376079559326172 y=0.613048553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376079559326172 × 217)
    floor (0.376079559326172 × 131072)
    floor (49293.5)     		tx = 49293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613048553466797 × 217)
    floor (0.613048553466797 × 131072)
    floor (80353.5)     		ty = 80353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49293 / 80353 ti = "17/49293/80353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49293/80353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49293 ÷ 217
    49293 ÷ 131072     		x = 0.376075744628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80353 ÷ 217
    80353 ÷ 131072     		y = 0.613044738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376075744628906 × 2 - 1) × π
    -0.247848510742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.77863906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613044738769531 × 2 - 1) × π
    -0.226089477539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.710281041670372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77863906} λ = -0.77863906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.710281041670372))-π/2
    2×atan(0.491506044368779)-π/2
    2×0.456829384315265-π/2
    0.913658768630531-1.57079632675     		φ = -0.65713756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77863906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.612732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65713756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.651209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49293 KachelY 80353 -0.77863906 -0.65713756 -44.612732 -37.651209
    Oben rechts KachelX + 1 49294 KachelY 80353 -0.77859112 -0.65713756 -44.609985 -37.651209
    Unten links KachelX 49293 KachelY + 1 80354 -0.77863906 -0.65717551 -44.612732 -37.653383
    Unten rechts KachelX + 1 49294 KachelY + 1 80354 -0.77859112 -0.65717551 -44.609985 -37.653383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65713756--0.65717551) × R
    3.79499999999533e-05 × 6371000     		dl = 241.779449999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65713756--0.65717551) × R
    3.79499999999533e-05 × 6371000     		dr = 241.779449999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77863906--0.77859112) × cos(-0.65713756) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.791744002879246 × 6371000     		do = 241.818997970357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77863906--0.77859112) × cos(-0.65717551) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.791720820436328 × 6371000     		du = 241.811917455574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65713756)-sin(-0.65717551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791744002879246-0.791720820436328)×R²
    abs(-0.77859112--0.77863906)×2.31824429183236e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31824429183236e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31824429183236e-05×40589641000000     		ar = 58466.0083743292m²