Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49292 / 50588
↖ ↑ ↗
← S 69.465263°
E 90.769043°		 ← 214.25 m → S 69.465263°
E 90.774536°		 →
↑
214.19 m
↓
↑
214.19 m
↓
S 69.467189°
E 90.769043°		 ← 214.23 m →
45 889 m²		 S 69.467189°
E 90.774536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752143859863281 y=0.771919250488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752143859863281 × 216)
    floor (0.752143859863281 × 65536)
    floor (49292.5)     		tx = 49292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771919250488281 × 216)
    floor (0.771919250488281 × 65536)
    floor (50588.5)     		ty = 50588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49292 / 50588 ti = "16/49292/50588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49292/50588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49292 ÷ 216
    49292 ÷ 65536     		x = 0.75213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50588 ÷ 216
    50588 ÷ 65536     		y = 0.77191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75213623046875 × 2 - 1) × π
    0.5042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58421866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77191162109375 × 2 - 1) × π
    -0.5438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7084711024588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58421866} λ = 1.58421866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7084711024588))-π/2
    2×atan(0.181142529379913)-π/2
    2×0.179199390542222-π/2
    0.358398781084444-1.57079632675     		φ = -1.21239755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58421866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.769043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21239755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.465263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49292 KachelY 50588 1.58421866 -1.21239755 90.769043 -69.465263
    Oben rechts KachelX + 1 49293 KachelY 50588 1.58431453 -1.21239755 90.774536 -69.465263
    Unten links KachelX 49292 KachelY + 1 50589 1.58421866 -1.21243117 90.769043 -69.467189
    Unten rechts KachelX + 1 49293 KachelY + 1 50589 1.58431453 -1.21243117 90.774536 -69.467189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21239755--1.21243117) × R
    3.36199999999565e-05 × 6371000     		dl = 214.193019999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21239755--1.21243117) × R
    3.36199999999565e-05 × 6371000     		dr = 214.193019999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58421866-1.58431453) × cos(-1.21239755) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.350775202603175 × 6371000     		do = 214.249203769783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58421866-1.58431453) × cos(-1.21243117) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.35074371863005 × 6371000     		du = 214.229973744047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21239755)-sin(-1.21243117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350775202603175-0.35074371863005)×R²
    abs(1.58431453-1.58421866)×3.14839731253014e-05×R²
    9.58700000002199e-05×3.14839731253014e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×3.14839731253014e-05×40589641000000     		ar = 45888.6245237402m²