Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49291 / 80073
↖ ↑ ↗
← S 37.039832°
W 44.618225°		 ← 243.75 m → S 37.039832°
W 44.615479°		 →
↑
243.82 m
↓
↑
243.82 m
↓
S 37.042025°
W 44.618225°		 ← 243.74 m →
59 429 m²		 S 37.042025°
W 44.615479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376064300537109 y=0.610912322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376064300537109 × 217)
    floor (0.376064300537109 × 131072)
    floor (49291.5)     		tx = 49291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.610912322998047 × 217)
    floor (0.610912322998047 × 131072)
    floor (80073.5)     		ty = 80073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49291 / 80073 ti = "17/49291/80073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49291/80073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49291 ÷ 217
    49291 ÷ 131072     		x = 0.376060485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80073 ÷ 217
    80073 ÷ 131072     		y = 0.610908508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376060485839844 × 2 - 1) × π
    -0.247879028320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.77873493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.610908508300781 × 2 - 1) × π
    -0.221817016601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.696858709776756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77873493} λ = -0.77873493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.696858709776756))-π/2
    2×atan(0.498147674997162)-π/2
    2×0.462164651316981-π/2
    0.924329302633963-1.57079632675     		φ = -0.64646702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77873493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.618225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64646702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.039832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49291 KachelY 80073 -0.77873493 -0.64646702 -44.618225 -37.039832
    Oben rechts KachelX + 1 49292 KachelY 80073 -0.77868700 -0.64646702 -44.615479 -37.039832
    Unten links KachelX 49291 KachelY + 1 80074 -0.77873493 -0.64650529 -44.618225 -37.042025
    Unten rechts KachelX + 1 49292 KachelY + 1 80074 -0.77868700 -0.64650529 -44.615479 -37.042025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64646702--0.64650529) × R
    3.82700000000069e-05 × 6371000     		dl = 243.818170000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64646702--0.64650529) × R
    3.82700000000069e-05 × 6371000     		dr = 243.818170000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77873493--0.77868700) × cos(-0.64646702) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.798216937235837 × 6371000     		do = 243.745144334867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77873493--0.77868700) × cos(-0.64650529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.7981938839481 × 6371000     		du = 243.738104736126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64646702)-sin(-0.64650529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.798216937235837-0.7981938839481)×R²
    abs(-0.77868700--0.77873493)×2.30532877361078e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30532877361078e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30532877361078e-05×40589641000000     		ar = 59428.6368541602m²