Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49291 / 50587
↖ ↑ ↗
← S 69.463335°
E 90.763550°		 ← 214.29 m → S 69.463335°
E 90.769043°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
S 69.465263°
E 90.763550°		 ← 214.27 m →
45 925 m²		 S 69.465263°
E 90.769043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752128601074219 y=0.771903991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752128601074219 × 216)
    floor (0.752128601074219 × 65536)
    floor (49291.5)     		tx = 49291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771903991699219 × 216)
    floor (0.771903991699219 × 65536)
    floor (50587.5)     		ty = 50587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49291 / 50587 ti = "16/49291/50587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49291/50587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49291 ÷ 216
    49291 ÷ 65536     		x = 0.752120971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50587 ÷ 216
    50587 ÷ 65536     		y = 0.771896362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752120971679688 × 2 - 1) × π
    0.504241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58412278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771896362304688 × 2 - 1) × π
    -0.543792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70837522865956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58412278} λ = 1.58412278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70837522865956))-π/2
    2×atan(0.181159897034947)-π/2
    2×0.179216206372955-π/2
    0.358432412745911-1.57079632675     		φ = -1.21236391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58412278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.763550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21236391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.463335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49291 KachelY 50587 1.58412278 -1.21236391 90.763550 -69.463335
    Oben rechts KachelX + 1 49292 KachelY 50587 1.58421866 -1.21236391 90.769043 -69.463335
    Unten links KachelX 49291 KachelY + 1 50588 1.58412278 -1.21239755 90.763550 -69.465263
    Unten rechts KachelX + 1 49292 KachelY + 1 50588 1.58421866 -1.21239755 90.769043 -69.465263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21236391--1.21239755) × R
    3.36399999998349e-05 × 6371000     		dl = 214.320439998948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21236391--1.21239755) × R
    3.36399999998349e-05 × 6371000     		dr = 214.320439998948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58412278-1.58421866) × cos(-1.21236391) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350806704908775 × 6371000     		do = 214.290794887308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58412278-1.58421866) × cos(-1.21239755) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350775202603175 × 6371000     		du = 214.271551657309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21236391)-sin(-1.21239755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350806704908775-0.350775202603175)×R²
    abs(1.58421866-1.58412278)×3.15023056003394e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.15023056003394e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.15023056003394e-05×40589641000000     		ar = 45924.8353433359m²