Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4929 / 5197
↖ ↑ ↗
← S 43.484812°
E 36.606445°		 ← 3 545.43 m → S 43.484812°
E 36.650391°		 →
↑
3 544.44 m
↓
↑
3 544.44 m
↓
S 43.516688°
E 36.606445°		 ← 3 543.56 m →
12 563 250 m²		 S 43.516688°
E 36.650391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60174560546875 y=0.63446044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60174560546875 × 213)
    floor (0.60174560546875 × 8192)
    floor (4929.5)     		tx = 4929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63446044921875 × 213)
    floor (0.63446044921875 × 8192)
    floor (5197.5)     		ty = 5197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4929 / 5197 ti = "13/4929/5197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4929/5197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4929 ÷ 213
    4929 ÷ 8192     		x = 0.6016845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5197 ÷ 213
    5197 ÷ 8192     		y = 0.6343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6016845703125 × 2 - 1) × π
    0.203369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.63890300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.268798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.844456423706909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63890300} λ = 0.63890300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844456423706909))-π/2
    2×atan(0.429790918880456)-π/2
    2×0.40592159027583-π/2
    0.811843180551659-1.57079632675     		φ = -0.75895315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63890300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.606445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75895315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.484812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4929 KachelY 5197 0.63890300 -0.75895315 36.606445 -43.484812
    Oben rechts KachelX + 1 4930 KachelY 5197 0.63966999 -0.75895315 36.650391 -43.484812
    Unten links KachelX 4929 KachelY + 1 5198 0.63890300 -0.75950949 36.606445 -43.516688
    Unten rechts KachelX + 1 4930 KachelY + 1 5198 0.63966999 -0.75950949 36.650391 -43.516688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75895315--0.75950949) × R
    0.000556340000000044 × 6371000     		dl = 3544.44214000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75895315--0.75950949) × R
    0.000556340000000044 × 6371000     		dr = 3544.44214000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63890300-0.63966999) × cos(-0.75895315) × R
    0.000766990000000023 × 0.725556810851977 × 6371000     		do = 3545.42848774209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63890300-0.63966999) × cos(-0.75950949) × R
    0.000766990000000023 × 0.725173846387604 × 6371000     		du = 3543.55713445662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75895315)-sin(-0.75950949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725556810851977-0.725173846387604)×R²
    abs(0.63966999-0.63890300)×0.000382964464373914×R²
    0.000766990000000023×0.000382964464373914×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382964464373914×40589641000000     		ar = 12563250.0086296m²