Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49289 / 51593
↖ ↑ ↗
← S 71.316637°
E 90.752564°		 ← 195.66 m → S 71.316637°
E 90.758057°		 →
↑
195.65 m
↓
↑
195.65 m
↓
S 71.318396°
E 90.752564°		 ← 195.64 m →
38 280 m²		 S 71.318396°
E 90.758057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752098083496094 y=0.787254333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752098083496094 × 216)
    floor (0.752098083496094 × 65536)
    floor (49289.5)     		tx = 49289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787254333496094 × 216)
    floor (0.787254333496094 × 65536)
    floor (51593.5)     		ty = 51593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49289 / 51593 ti = "16/49289/51593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49289/51593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49289 ÷ 216
    49289 ÷ 65536     		x = 0.752090454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51593 ÷ 216
    51593 ÷ 65536     		y = 0.787246704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752090454101562 × 2 - 1) × π
    0.504180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58393104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787246704101562 × 2 - 1) × π
    -0.574493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80482427069511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58393104} λ = 1.58393104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80482427069511))-π/2
    2×atan(0.16450336209878)-π/2
    2×0.163043105000574-π/2
    0.326086210001147-1.57079632675     		φ = -1.24471012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58393104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.752564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24471012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.316637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49289 KachelY 51593 1.58393104 -1.24471012 90.752564 -71.316637
    Oben rechts KachelX + 1 49290 KachelY 51593 1.58402691 -1.24471012 90.758057 -71.316637
    Unten links KachelX 49289 KachelY + 1 51594 1.58393104 -1.24474083 90.752564 -71.318396
    Unten rechts KachelX + 1 49290 KachelY + 1 51594 1.58402691 -1.24474083 90.758057 -71.318396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24471012--1.24474083) × R
    3.07100000001004e-05 × 6371000     		dl = 195.65341000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24471012--1.24474083) × R
    3.07100000001004e-05 × 6371000     		dr = 195.65341000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58393104-1.58402691) × cos(-1.24471012) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320337941945359 × 6371000     		do = 195.658497207191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58393104-1.58402691) × cos(-1.24474083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32030885010898 × 6371000     		du = 195.640728269324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24471012)-sin(-1.24474083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320337941945359-0.32030885010898)×R²
    abs(1.58402691-1.58393104)×2.90918363793913e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90918363793913e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90918363793913e-05×40589641000000     		ar = 38279.5139006679m²