Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49288 / 51848
↖ ↑ ↗
← S 71.760191°
E 90.747070°		 ← 191.19 m → S 71.760191°
E 90.752564°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
S 71.761911°
E 90.747070°		 ← 191.18 m →
36 553 m²		 S 71.761911°
E 90.752564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752082824707031 y=0.791145324707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752082824707031 × 216)
    floor (0.752082824707031 × 65536)
    floor (49288.5)     		tx = 49288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791145324707031 × 216)
    floor (0.791145324707031 × 65536)
    floor (51848.5)     		ty = 51848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49288 / 51848 ti = "16/49288/51848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49288/51848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49288 ÷ 216
    49288 ÷ 65536     		x = 0.7520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51848 ÷ 216
    51848 ÷ 65536     		y = 0.7911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7520751953125 × 2 - 1) × π
    0.504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58383516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7911376953125 × 2 - 1) × π
    -0.582275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.82927208950134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58383516} λ = 1.58383516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82927208950134))-π/2
    2×atan(0.160530377003458)-π/2
    2×0.159172357618637-π/2
    0.318344715237275-1.57079632675     		φ = -1.25245161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58383516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25245161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.760191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49288 KachelY 51848 1.58383516 -1.25245161 90.747070 -71.760191
    Oben rechts KachelX + 1 49289 KachelY 51848 1.58393104 -1.25245161 90.752564 -71.760191
    Unten links KachelX 49288 KachelY + 1 51849 1.58383516 -1.25248162 90.747070 -71.761911
    Unten rechts KachelX + 1 49289 KachelY + 1 51849 1.58393104 -1.25248162 90.752564 -71.761911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25245161--1.25248162) × R
    3.00099999999137e-05 × 6371000     		dl = 191.19370999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25245161--1.25248162) × R
    3.00099999999137e-05 × 6371000     		dr = 191.19370999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58383516-1.58393104) × cos(-1.25245161) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.312994876938216 × 6371000     		do = 191.193383810002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58383516-1.58393104) × cos(-1.25248162) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.312966374655306 × 6371000     		du = 191.175973148303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25245161)-sin(-1.25248162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312994876938216-0.312966374655306)×R²
    abs(1.58393104-1.58383516)×2.85022829100701e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.85022829100701e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.85022829100701e-05×40589641000000     		ar = 36553.3079760305m²