Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49286 / 81086
↖ ↑ ↗
← S 39.227998°
W 44.631958°		 ← 236.59 m → S 39.227998°
W 44.629211°		 →
↑
236.56 m
↓
↑
236.56 m
↓
S 39.230126°
W 44.631958°		 ← 236.59 m →
55 967 m²		 S 39.230126°
W 44.629211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376026153564453 y=0.618640899658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376026153564453 × 217)
    floor (0.376026153564453 × 131072)
    floor (49286.5)     		tx = 49286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618640899658203 × 217)
    floor (0.618640899658203 × 131072)
    floor (81086.5)     		ty = 81086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49286 / 81086 ti = "17/49286/81086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49286/81086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49286 ÷ 217
    49286 ÷ 131072     		x = 0.376022338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81086 ÷ 217
    81086 ÷ 131072     		y = 0.618637084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376022338867188 × 2 - 1) × π
    -0.247955322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77897462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618637084960938 × 2 - 1) × π
    -0.237274169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.745418789091873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77897462} λ = -0.77897462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745418789091873))-π/2
    2×atan(0.474535528018221)-π/2
    2×0.44306930075714-π/2
    0.886138601514279-1.57079632675     		φ = -0.68465773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77897462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.631958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68465773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.227998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49286 KachelY 81086 -0.77897462 -0.68465773 -44.631958 -39.227998
    Oben rechts KachelX + 1 49287 KachelY 81086 -0.77892668 -0.68465773 -44.629211 -39.227998
    Unten links KachelX 49286 KachelY + 1 81087 -0.77897462 -0.68469486 -44.631958 -39.230126
    Unten rechts KachelX + 1 49287 KachelY + 1 81087 -0.77892668 -0.68469486 -44.629211 -39.230126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68465773--0.68469486) × R
    3.71300000000518e-05 × 6371000     		dl = 236.55523000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68465773--0.68469486) × R
    3.71300000000518e-05 × 6371000     		dr = 236.55523000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77897462--0.77892668) × cos(-0.68465773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77463554671825 × 6371000     		do = 236.593635086571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77897462--0.77892668) × cos(-0.68469486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774612064878436 × 6371000     		du = 236.586463128269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68465773)-sin(-0.68469486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77463554671825-0.774612064878436)×R²
    abs(-0.77892668--0.77897462)×2.34818398141545e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34818398141545e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34818398141545e-05×40589641000000     		ar = 55966.6134889272m²