Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49285 / 80071
↖ ↑ ↗
← S 37.035447°
W 44.634705°		 ← 243.81 m → S 37.035447°
W 44.631958°		 →
↑
243.82 m
↓
↑
243.82 m
↓
S 37.037640°
W 44.634705°		 ← 243.80 m →
59 444 m²		 S 37.037640°
W 44.631958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376018524169922 y=0.610897064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376018524169922 × 217)
    floor (0.376018524169922 × 131072)
    floor (49285.5)     		tx = 49285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.610897064208984 × 217)
    floor (0.610897064208984 × 131072)
    floor (80071.5)     		ty = 80071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49285 / 80071 ti = "17/49285/80071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49285/80071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49285 ÷ 217
    49285 ÷ 131072     		x = 0.376014709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80071 ÷ 217
    80071 ÷ 131072     		y = 0.610893249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376014709472656 × 2 - 1) × π
    -0.247970581054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.77902256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.610893249511719 × 2 - 1) × π
    -0.221786499023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.696762835977516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77902256} λ = -0.77902256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.696762835977516))-π/2
    2×atan(0.498195436596853)-π/2
    2×0.462202916466944-π/2
    0.924405832933887-1.57079632675     		φ = -0.64639049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77902256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.634705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64639049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.035447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49285 KachelY 80071 -0.77902256 -0.64639049 -44.634705 -37.035447
    Oben rechts KachelX + 1 49286 KachelY 80071 -0.77897462 -0.64639049 -44.631958 -37.035447
    Unten links KachelX 49285 KachelY + 1 80072 -0.77902256 -0.64642876 -44.634705 -37.037640
    Unten rechts KachelX + 1 49286 KachelY + 1 80072 -0.77897462 -0.64642876 -44.631958 -37.037640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64639049--0.64642876) × R
    3.82700000000069e-05 × 6371000     		dl = 243.818170000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64639049--0.64642876) × R
    3.82700000000069e-05 × 6371000     		dr = 243.818170000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77902256--0.77897462) × cos(-0.64639049) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.798263034280997 × 6371000     		do = 243.810077960323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77902256--0.77897462) × cos(-0.64642876) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.798239983331114 × 6371000     		du = 243.803037606898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64639049)-sin(-0.64642876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.798263034280997-0.798239983331114)×R²
    abs(-0.77897462--0.77902256)×2.30509498821974e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.30509498821974e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.30509498821974e-05×40589641000000     		ar = 59444.4687599648m²