Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49285 / 80062
↖ ↑ ↗
← S 37.015712°
W 44.634705°		 ← 243.87 m → S 37.015712°
W 44.631958°		 →
↑
243.88 m
↓
↑
243.88 m
↓
S 37.017905°
W 44.634705°		 ← 243.87 m →
59 475 m²		 S 37.017905°
W 44.631958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376018524169922 y=0.610828399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376018524169922 × 217)
    floor (0.376018524169922 × 131072)
    floor (49285.5)     		tx = 49285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.610828399658203 × 217)
    floor (0.610828399658203 × 131072)
    floor (80062.5)     		ty = 80062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49285 / 80062 ti = "17/49285/80062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49285/80062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49285 ÷ 217
    49285 ÷ 131072     		x = 0.376014709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80062 ÷ 217
    80062 ÷ 131072     		y = 0.610824584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376014709472656 × 2 - 1) × π
    -0.247970581054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.77902256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.610824584960938 × 2 - 1) × π
    -0.221649169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.696331403880936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77902256} λ = -0.77902256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.696331403880936))-π/2
    2×atan(0.498410420470707)-π/2
    2×0.462375136985538-π/2
    0.924750273971077-1.57079632675     		φ = -0.64604605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77902256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.634705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64604605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.015712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49285 KachelY 80062 -0.77902256 -0.64604605 -44.634705 -37.015712
    Oben rechts KachelX + 1 49286 KachelY 80062 -0.77897462 -0.64604605 -44.631958 -37.015712
    Unten links KachelX 49285 KachelY + 1 80063 -0.77902256 -0.64608433 -44.634705 -37.017905
    Unten rechts KachelX + 1 49286 KachelY + 1 80063 -0.77897462 -0.64608433 -44.631958 -37.017905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64604605--0.64608433) × R
    3.82799999999461e-05 × 6371000     		dl = 243.881879999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64604605--0.64608433) × R
    3.82799999999461e-05 × 6371000     		dr = 243.881879999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77902256--0.77897462) × cos(-0.64604605) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.798470446235359 × 6371000     		do = 243.87342690997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77902256--0.77897462) × cos(-0.64608433) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.798447399788525 × 6371000     		du = 243.866387931891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64604605)-sin(-0.64608433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.798470446235359-0.798447399788525)×R²
    abs(-0.77897462--0.77902256)×2.30464468337077e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.30464468337077e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.30464468337077e-05×40589641000000     		ar = 59475.4515044252m²