Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49284 / 51587
↖ ↑ ↗
← S 71.306075°
E 90.725098°		 ← 195.77 m → S 71.306075°
E 90.730591°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
S 71.307836°
E 90.725098°		 ← 195.75 m →
38 325 m²		 S 71.307836°
E 90.730591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752021789550781 y=0.787162780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752021789550781 × 216)
    floor (0.752021789550781 × 65536)
    floor (49284.5)     		tx = 49284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787162780761719 × 216)
    floor (0.787162780761719 × 65536)
    floor (51587.5)     		ty = 51587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49284 / 51587 ti = "16/49284/51587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49284/51587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49284 ÷ 216
    49284 ÷ 65536     		x = 0.75201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51587 ÷ 216
    51587 ÷ 65536     		y = 0.787155151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75201416015625 × 2 - 1) × π
    0.5040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58345167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787155151367188 × 2 - 1) × π
    -0.574310302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80424902789967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58345167} λ = 1.58345167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80424902789967))-π/2
    2×atan(0.164598018695305)-π/2
    2×0.163135266155912-π/2
    0.326270532311825-1.57079632675     		φ = -1.24452579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58345167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24452579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.306075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49284 KachelY 51587 1.58345167 -1.24452579 90.725098 -71.306075
    Oben rechts KachelX + 1 49285 KachelY 51587 1.58354754 -1.24452579 90.730591 -71.306075
    Unten links KachelX 49284 KachelY + 1 51588 1.58345167 -1.24455652 90.725098 -71.307836
    Unten rechts KachelX + 1 49285 KachelY + 1 51588 1.58354754 -1.24455652 90.730591 -71.307836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24452579--1.24455652) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24452579--1.24455652) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58345167-1.58354754) × cos(-1.24452579) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320512552925422 × 6371000     		do = 195.765147458321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58345167-1.58354754) × cos(-1.24455652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320483443957733 × 6371000     		du = 195.747368056859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24452579)-sin(-1.24455652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320512552925422-0.320483443957733)×R²
    abs(1.58354754-1.58345167)×2.91089676888734e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91089676888734e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91089676888734e-05×40589641000000     		ar = 38325.322624436m²