Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49283 / 80060
↖ ↑ ↗
← S 37.011326°
W 44.640198°		 ← 243.89 m → S 37.011326°
W 44.637451°		 →
↑
243.88 m
↓
↑
243.88 m
↓
S 37.013519°
W 44.640198°		 ← 243.88 m →
59 479 m²		 S 37.013519°
W 44.637451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376003265380859 y=0.610813140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376003265380859 × 217)
    floor (0.376003265380859 × 131072)
    floor (49283.5)     		tx = 49283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.610813140869141 × 217)
    floor (0.610813140869141 × 131072)
    floor (80060.5)     		ty = 80060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49283 / 80060 ti = "17/49283/80060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49283/80060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49283 ÷ 217
    49283 ÷ 131072     		x = 0.375999450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80060 ÷ 217
    80060 ÷ 131072     		y = 0.610809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375999450683594 × 2 - 1) × π
    -0.248001098632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.77911843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.610809326171875 × 2 - 1) × π
    -0.22161865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.696235530081696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77911843} λ = -0.77911843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.696235530081696))-π/2
    2×atan(0.498458207262013)-π/2
    2×0.462413414287709-π/2
    0.924826828575418-1.57079632675     		φ = -0.64596950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77911843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.640198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64596950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.011326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49283 KachelY 80060 -0.77911843 -0.64596950 -44.640198 -37.011326
    Oben rechts KachelX + 1 49284 KachelY 80060 -0.77907049 -0.64596950 -44.637451 -37.011326
    Unten links KachelX 49283 KachelY + 1 80061 -0.77911843 -0.64600778 -44.640198 -37.013519
    Unten rechts KachelX + 1 49284 KachelY + 1 80061 -0.77907049 -0.64600778 -44.637451 -37.013519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64596950--0.64600778) × R
    3.82800000000572e-05 × 6371000     		dl = 243.881880000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64596950--0.64600778) × R
    3.82800000000572e-05 × 6371000     		dr = 243.881880000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77911843--0.77907049) × cos(-0.64596950) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.798516529599128 × 6371000     		do = 243.88750195545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77911843--0.77907049) × cos(-0.64600778) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.798493485492113 × 6371000     		du = 243.880463692013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64596950)-sin(-0.64600778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.798516529599128-0.798493485492113)×R²
    abs(-0.77907049--0.77911843)×2.30441070149245e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.30441070149245e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.30441070149245e-05×40589641000000     		ar = 59478.8842403677m²